Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

C системами такого вида встречаются при изучении электрических цепей [4]. Здесь в
обозначениях теоремы
⎛
⎞ ⎛
⎞
1 0 1 0 1
1 0 1 0 1
0 1 1 1 0
B =
⎜ 0 0 0 0 0
⎟
⎝ 0 0 0 0 0 ⎠ , A = 0 1 1 1 0
⎜ −1 −1 1 0 0
⎟
⎝ 1 0 0 0 −1 ⎠ ,
0 0 0 0 0
0 1 0 −1 0
K(t) = −A − B
∫ t
dτ = −A − Bt,
k(τ) ≡ −B.
Далее последовательно находим
⎛
⎞ ⎛
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
B ∗ =
⎜ 1 1 0 0 0
⎟
⎝ 0 1 0 0 0 ⎠ , A∗ =
⎜
⎝
1 0 0 0 0
0
1 0 −1 1 0
0 1 −1 0 1
1 1 1 0 0
0 1 0 0 −1
1 0 0 −1 0
⎞
⎟
⎠ ,
dim N(B) = dim N(B ∗ ) = 3.
Базис пространства нулей N(B) составим из векторов
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−1
0
−1
ϕ (1)
1 =
⎜ 1
⎟
⎝ 0 ⎠ , −1
ϕ(1) 2 =
⎜ 0
⎟
⎝ 1 ⎠ , ϕ(1)
0
0
3 =
⎛
⎜
⎝
−1
0
0
0
1
⎞
⎟
⎠ .
В качестве базиса пространства нулей N(B ∗ ) сопряженной матрицы выберем систему
векторов
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0
0
0
ψ (1)
1 = − 1 0
4 ⎜ 2
⎟
⎝ 1 ⎠ , ψ(1) 2 = 1 0
8 ⎜ 2
⎟
⎝ 1 ⎠ , ψ(1) 3 = 1 0
8 ⎜ 2
⎟
⎝ 5 ⎠ ,
1
5
1
тогда p 1 = p 2 = p 3 = 1. Соответсвующие биортогональные системы элементов {z i } и {γ i }
восстановим по правилам
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
0
0
0
0
z 1 = −Aϕ (1)
1 =
⎜ −3
⎟
⎝ 1 ⎠ , z 0
2 = −Aϕ (1)
2 =
⎜ −1
⎟
⎝ 0 ⎠ , z 0
3 = −Aϕ (1)
3 =
⎜ −1
⎟
⎝ 2 ⎠ ,
1
2
0
γ 1 = −A ∗ ψ (1)
1 = − 1 4
⎛
⎜
⎝
1
1
−2
1
1
⎞
⎛
⎟
⎠ , γ 2 = −A ∗ ψ (1)
2 = − 1 8 ⎜
⎝
176
−1
3
2
−5
−1
⎞
⎛
⎟
⎠ , γ 3 = −A ∗ ψ (1)
3 = − 1 8 ⎜
⎝
3
−1
2
−1
−5
⎞
⎟
⎠ .