Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

являются проекторами в E 1 и E 2 соответственно, порождают разложения пространств
E 1 и E 2 в прямые суммы E 1 = E 0 1 ⊕ E 1 1 = ker P ⊕ im P и E 2 = E 0 2 ⊕ E 1 2 = ker Q ⊕ im Q.
Действия операторов B и A расщепляются, причем A 0 : E 0 1 → E 0 2 и B 1 : E 1 1 → E 1 2
непрерывно обратимы, A 1 : E 1 1 → E 1 2 ограничен, QB = BP, QA = AP .
2. Фундаментальная оператор-функция в условиях фредгольмовости
Теорема 1. Пусть в системе (1) det Λ ≠ 0, оператор B фредгольмов и выполнено
условие А). Тогда дифференциальный оператор ( Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) имеет на классе
K ′ +(E 2 ) матричную фундаментальную оператор-функцию вида
E N (t) = T δ(t) ∗ { E N1 (t), E N2 (t), . . . , E Nµ (t) } ∗ T −1 δ(t), (6)
здесь { E N1 (t), E N2 (t), . . . , E Nµ (t) } — блочная квадратная квазидиагональная матрица
размера s вида
⎛
⎞
E N1 (t) 0 . . . 0
⎜ 0 E N2 (t) . . . 0
⎟
⎝ · · · · · · · · · · · · ⎠ , (7)
0 0 . . . E Nµ (t)
диагональные блоки которой E Nν (t) являются верхнетреугольными квадратными матрицами
размера q ν вида E Nν (t) = E (qν) E Nν (t) ∗ σ Nν (t)
⎛
⎞
Iδ(t) Aδ(t) ∗ E Nν (t) (Aδ(t) ∗ E Nν (t)) 2 . . . · (Aδ(t) ∗ E Nν (t)) q ν−1
0 Iδ(t) Aδ(t) ∗ E Nν (t) . . . · (Aδ(t) ∗ E Nν (t)) q ν−2
σ Nν (t) =
0 0 Iδ(t) . . . · (Aδ(t) ∗ E Nν (t)) q ν−3
⎜ · · · · · · · · · · · · · · · ·
, (8)
⎟
⎝ 0 0 0 . . . Iδ(t) Aδ(t) ∗ E Nν (t) ⎠
0 0 0 . . . 0 Iδ(t)
здесь ν = 1, . . . , µ и
[
∑
E Nν (t) = ΓU Nν (λ ν AΓt) I − n ∑p i
〈·, ψ (j)
− n ∑
i=1
[
pi
{
−1 pi −k
∑
k=0
∑
j=1
〈·, ψ (j)
i
U Nν (λ ν AΓt) = ∞ ∑
i=1 j=1
〉λ −k−1
ν ϕ (p i−k+1−j)
i
i=1
i−1 tiN−1
(λ ν AΓ)
i
〉Aϕ (p i+1−j)
i
} ]
δ (Nk) (t) ,
(iN−1)! .
]
θ(t)−
Доказательство. В соответствии с определением матричной фундаментальной
оператор-функции для доказательства достаточно проверить справедливость равенств (4)
и (5).
(
Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) ∗ E N (t) ∗ ũ(t) = ( Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) ∗ T δ(t)∗
∗ { E N1 (t), E N2 (t), . . . , E Nµ (t) } ∗ T −1 (t) ∗ ũ(t) = T δ(t) ∗ T −1 δ(t) ∗ ( Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) ∗
∗T δ(t) ∗ { E N1 (t), E N2 (t), . . . , E Nµ (t) } ∗ T −1 δ(t) ∗ ũ(t) =
= T δ(t) ∗ ( Bδ (N) (t) − JAδ(t) ) ∗ { E N1 (t), E N2 (t), . . . , E Nµ (t) } ∗ T −1 δ(t) ∗ ũ(t).
106