Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

Из определения 2 следует, что:
A(E − A − A) = 0, (E − AA − )A = 0, (7)
V 2
j = V j , (E − V j ) 2 = (E − V j ) 2 , j = 1, 2, V 1 = AA − , V 2 = A − A, (8)
Здесь и ниже E µ −единичная матрица размерности µ. Если µ = n или m, то для упрощения
записи ниже полагается E µ = E.
Покажем, что в равенстве (5) можно принять R i = E, S i = E − A i−1 (x ∗ )A − i−1 (x∗ ), где
A i−1 (x) = ∂F i−1 (x)/∂x. Иначе говоря, вектор x ∗ является решением систем
F i (x) = [E + q i S i ]F i−1 (x) = 0, i = 1, 2, · · · , (9)
где F 0 (x) = F (x), c i − произвольные вектора из R n . Здесь выполнены условия леммы 1
так как в силу (7) S i A i−1 (x ∗ ) = [E − A i−1 (x ∗ )A − i−1 (x∗ )]A i−1 (x ∗ ) = 0.
Процесс понижения кратности можно организовать и другим способом, выбирая вектора
c i из некоторых подпространств в R n . Рассмотрим процесс F i (x) = [E+˜q i E]F i−1 (x) = 0,
где ˜q i = (a ⊤ i , grad) и вектора a i выбираются из некоторого подпространства R n . Используя
формулу (6), этот процесс можно переписать так
F i (x) = F i−1 (x) + A i−1 (x)a i = 0, (10)
где F 0 (x) = F (x), A i (x) = ∂F i (x)/∂x. Если полагать, что a i = [E − A − i (x∗ )A i (x ∗ )]c i , где
c i −произвольные вектора из R n , то из (7) имеем F i (x ∗ ) = 0.
Определение 3. Пусть rankA 0 (x ∗ ) < min{m, n}. Если, начиная c минимально возможного
i = k, в равенстве (10) имеем rankA k (x ∗ ) = min{m, n}, то число k + 1 назовем
правой кратностью решения x ∗ .
После приведения системы (1) к системе с простым корнем процессы (9), (10) стабилизируются:
F i (x) = F i−1 (x), F i (x) = F i−1 (x) ∀i k,
так как S i = E − A i−1 (x ∗ )A − i−1 (x∗ ) = 0, E − A − i−1 (x∗ )A i−1 (x ∗ ) = 0 при условии полноты
ранга матриц A i−1 (x ∗ ), A i−1 (x ∗ ).
В заключение раздела коснемся вопроса о соотношении значений левой и правой кратностей
корня x ∗ системы (1). Для систем (3) эти значения совпадают, но можно указать
примеры, когда они не равны. Рассмотрим систему
x 1 x 2 = 0, x 1 − x 3 2 = 0.
Здесь только одно решение x ∗ = (0, 0) ⊤ и его левая кратность равна 2, а правая 3.
2. Свойства λ−матриц
Поставим задачу получения критериев, выполнение которых гарантирует осуществимость
процессов (9), (10). Оказалось, что значения кратности корня можно вычислить,
используя информацию о свойствах некоторых матричных пучков. Приведем необходимые
сведения, представляющие и самостоятельный интерес.
Определение 4. (см. например [10]). Выражение
M(λ) = λ ρ M 0 + λ ρ−1 M 1 + · · · + M ρ =
ρ∑
λ ρ−i M i , M 0 ≠ 0, (11)
i=0
45