Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

то
Случай N = 2, L 1 > 0, L 2 = 0.
Утверждение 2.3. Если
ψ(t) c + L 1
∫t
0
ψ(t) − L 1
2M 2
∫ t
ψ(s)ds + 2M 2 ψ(t)
(
W −
(
1 + W
T ∗ = L 1 + 2M 2 c
L 2 1
0
ψ(s)ds, ψ(t), t 0; c, L 1 , M 2 > 0,
2M 2c
exp L2 1 t−2M 2c
L 1 +2M 2 c L 1 +2M 2 c
) , t ∈ [0, T ∗ ),
−
2M 2c
exp L2 1 t−2M 2c
L 1 +2M 2 c L 1 +2M 2 c
(
ln 1 + L )
1
− 1 .
2M 2 c L 1
W (·) — главная вещественная ветвь функции Ламберта.
Случай N = 2, L 1 > 0, L 2 > 0.
Утверждение 2.4. Если
ψ(t) c + L 1
∫t
( ∫t
ψ(s)ds + L 2
)
2 ∫
ψ(s)ds) t
+ 2M 2 ψ(t)
ψ(s)ds,
0
0
0
то
ψ(t), t 0; c, L 1 , L 2 , M 2 > 0, L 2 1 − 4L 2 c = 0,
ψ(t) = a L 2
1
(
2 M 2
W −1, −a √ L 2 e − L 2
)
(b−t)
2M 2
T ∗ = b − 2M (
2
1 + ln(a √ )
L 2 ) .
L 2
1
(
1 + W −1, −a √ L 2 e − L 2 (b−t)
2M 2
) ,
a = L 2 + L 1 M 2
2M 2 L 2
, b = M 2
L 2
ln c + 2L 2 + 2L 1 M 2
L 1 L 2
,
W (−1, . . .) — вторая вещественная ветвь функции Ламберта.
В более сложных случаях точное решение мажорантной задачи Коши (16) в аналитическом
виде найти не удается. Ряд приемов, позволяющих получить оценки, близкие к
неулучшаемым, разработан в [13].
Список литературы
[1] Апарцин А.С., Тен Мен Ян. О неулучшаемых оценках решений некоторых многомерных
интегральных неравенств // Вопр. прикладной математики. – Новосибирск:
Наука. Сиб. отд-ние, 1978. – С. 36-52.
[2] А.С. Апарцин, Тен Мен Ян. О неулучшаемых оценках решений некоторых интегральных
неравенств // СМЖ. – 1979, Т. 20, № 1. – C. 192-195.
19