Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

О ЗНАКООПРЕДЕЛЕННОСТИ ФОРМ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ЧЕТВЕР-
ТОГО ПОРЯДКА
М.А. Новиков
Институт Динамики Систем и Теории Управления СО РАН
e-mail: nma@icc.ru
Аннотация. В статье на примере формы четветого порядка двух переменных предложен новый
способ решения задачи знакоопределенности однородных форм. Метод состоит в степенной
замене переменных, посредством которой возможно сведение к квадратичной форме. Следствием
такого преобразования является другая, равная нулю, квадратичная форма. Линейная связка
полученных квадратичных форм дает параметризованную квадратичную форму. После приведения
последней к сумме полных квадратов знакоопределенность квадратичной параметрической
матрицы сводится к условно экстремальной задаче с одним параметром. Требование положительности
коэффициентов при полных квадратах получает необходимые и достаточные условия
знакоопределенности параметрической квадратичной формы. Проведено полное соответствие
знакоопределенности, знакопеременности и знакопостоянства параметрической квадратичной и
исходной форм.
Ключевые слова: форма, квадратичная форма, знакоопределенная форма, знакопеременная
форма, знакопостоянная форма, экстремум
В [1, 2] приведены необходимые и достаточные условия знакоопределенности однородной
формы 4 пордка двух переменных, полученные из прямого анализа корней уравнения
четвертой степени. Существуют способы, опирающиеся на Ганкелевы матрицы [3, 4, 5].
Изложим другой способ, основанный на отыскании экстремума некоторой функции.
Пусть исследованию на знакоопределенность подлежит форма
W (x, y) = x 4 + p x 2 y 2 + q x y 3 + r y 4 , (1)
где p, q, r (r > 0) – вещественные, и не уменьшая общности исключен член x 3 y.
1. Редукция к квадратичным формам
Значительно проще решаются задачи о знакоопределенности, связанные с квадратичными
формами. Поэтому введем степенную замену переменных:
z 1 = x 2 , z 2 = xy, z 3 = y 2 ,
для которой имеет место z2
2 = z 1 z 3 . Между мономами исходной и преобразованной форм
при таком выборе переменных можно установить два вида соответствий:
1. x 4 = z1, 2 x 2 y 2 = z2, 2 xy 3 = z 2 z 3 , y 4 = z3;
2
2. x 4 = z1, 2 x 2 y 2 = z 1 z 3 , xy 3 = z 2 z 3 , y 4 = z3;
2
Представим форму (1) виде квадратичной по первому соответствию переменных:
V 1 (z) = z 2 1 + pz 2 2 + qz 2 z 3 + rz 2 3 .
Ее значение не изменится, если к ней прибавить форму:
V 2 (z) = 2z 1 z 3 − 2z 2 2 = 0 ,
134