Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

2. Задача Коши-Дирихле для двух уравнений волн в замагниченной плазме
Рассмотрим два уравнения соболевского типа высокого порядка [3]
( ) ( ) ( )
∂ 2 ∂
2
∂
2 ∂
2 ∂
2
∂t 2 ∂t + α + β ∆ 2 N Φ +
∂t + β 2 ∂t + α Φ = F, 2 ∂x2 (4)
( )
∂ 2 ∂
2
∂t 2 ∂t + α (∆ 2 N+1 Φ − λΦ) + β ∂2
∂t ∆ N+1Φ + αβ ∂2
Φ = F, 2 ∂x2 (5)
здесь α, β, λ > 0, причём в разных уравнениях эти коэффициенты имеют различный
∑
физический смысл, а ∆ N+1 = ∂2 + N ∂x 2
i=1
∂ 2
.
∂yi
2
Первое уравнение описывает колебания электронных волн в холодной плазме во внешнем
магнитном поле, второе — ионно-звуковые волны в замагниченной плазме, причём
магнитное поле направлено вдоль оси x [3].
Поставим для этих уравнений задачу Коши-Дирихле
∂ k
∂t k Φ(x, y, t) ∣
∣∣∣t=0
= Φ k (x, y), k = 0, 3, Φ(x, y, t)| (x,y)∈Γ
= 0,
x ∈ [0, l], y ∈ Ω ⊂ R N , Γ = ∂([0, l] × Ω).
Редуцируем задачи Коши-Дирихле { для уравнений (4), (5) к задаче Коши
(1)-(2). Положим E 1 = u(x, y) : u(·, y) ∈ W
ρ+2
2 [0, l] : u(0, y) = u(l, y) = 0,
u(x, ·) ∈ W ρ+2
2 (Ω) : u(x, y) = 0, y ∈ ∂Ω } , E 2 = {u(x, y) : u(·, y) ∈ W ρ 2 [0, l], u(x, ·) ∈ W ρ 2 (Ω)}.
Введем обозначения λ k , k = 1, +∞ собственные значения оператора Лапласа (упорядоченные
по возрастанию модуля) в области Ω, φ k (y), k = 1, +∞ — систему ортонормированных
(в смысле скалярного произведения в L 2 (Ω)) собственных функций, отвечающих
собственным значениям λ k и σ(∆) = { µ k , k = 1, +∞ } — собственные значения оператора
Лапласа на отрезке [0, l], s k (x), k = 1, +∞ — нормированную систему синусов на отрезке
[0, l].
Теорема 2. Если среди чисел D kj = (α + β) 2 − 4αβ µ j
µ j +λ k
, k, j = 1, +∞ нет нулей,
функция F (x, y, t) ∈ (E 2 , C k [0, +∞)), тогда задача Коши-Дирихле для уравнения
электронных волн в замагниченной плазме (4) имеет единственное решение u(x, y, t) ∈
(E 1 , C k+4 [0, +∞)), причем
Λ 1 = − 1 2
+∞∑
+∞∑
j=1 k=1
(α + β − D kj ) ((•, φ k (y)) , s j (x)) φ k (y)s j (x),
Λ 0 = − 1 2
+∞∑
+∞∑
j=1 k=1
(α + β + D kj ) ((•, φ k (y)) , s 1 (x)) φ k (y)s j (x).
Доказательство. Для редукции уравнения (4) B = ∆ N+1 , A 1 = −(α + β)∆ N+1 ,
A 0 = −αβ ∂2 . Заметим, что оператор B является обратимым и обратный к нему имеет
∂x 2
вид
B −1 =
+∞∑
+∞∑
j=1 k=1
1
µ j + λ k
((•, φ k (y)) , s 1 (x)) φ k (y)s j (x).
120