Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

а в силу изотонности G(θ(t)) относительно конуса C +[0,T ]
G(ζ(t)) G(θ ∗ (t)),
поэтому
˙θ ∗ (t) − ˙ζ(t) G(θ ∗ (t)) − G(ζ(t)) 0 (18)
и из (18) и (14) следует (17).
Оценку (17) естественно считать неулучшаемой, если [0, T ] — максимальная область
существования решения задачи Коши (16), т.е. T = T ∗ таково, что G(θ ∗ (T ∗ )) = ∞.
Таким образом, получение неулучшаемой оценки решений неравенства (12) сводится к
нахождению точного решения (16), и его дифференцированию и определению T ∗ .
Далее приводится ряд неулучшаемых оценок, подробный вывод которых можно найти
в [10] – [12].
Случай N = 2, L 1 = L 2 = 0.
Утверждение 2.1. Если
то
ψ(t)
Случай N = 3, L 1 = L 2 = L 3 = 0.
Утверждение 2.2. Если
∫ t
ψ(t) c + 2M 2 ψ(t)
0
ψ(s)ds,
ψ(t), t 0; c, M 2 > 0;
c
√ 1 − 4M2 ct , t ∈ [0, T ∗ ), T ∗ = 1
4M 2 c .
∫ t
ψ(t) c + 2M 2 ψ(t)
( ∫t
ψ(s)ds + 3M 3 ψ(t)
ψ(s)ds) 2
,
0
0
то
ψ(t), t, M 2 0; M 3 > 0,
{
(
π
ψ(t) √ 2 c cos − 1 arccos 3 √ √ )}
3
q(t) − 1 6 3 2 p 3
√
, t ∈ [0, T ∗ ),
3 pM 3 4 + 27q2 (t)
p 3
T ∗ = −9M 2M 3 − 2M2 3 + 2 √ 27M3 3 + 27M3 2 M2 2 + 9M 3 M2 4 + M2
6
27M3 2 c
( 1
p = − + M )
2
2 , q(t) = M (
2 1
+ 2 )
M2
2 + ct .
M 3 3M3
2 3M 3 M 3 9 M3
2 M 3
,
18