Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ОПЕРАТОР-ФУНКЦИЯ ВЫРОЖДЕННОГО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ВЫСОКОГО ПОРЯДКА В БАНА-
ХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
О.В. Коробова
Иркутский государственный университет, Иркутск
e-mail: ollis@mail.ru
Аннотация. В статье рассматривается сингулярная система дифференциальных уравнений
высокого порядка специального вида в банаховых пространствах. Построена матричная
фундаментальная оператор-функция для вырожденного дифференциального оператора
(Bδ (N) (t) − ΛAδ(t)). Здесь оператор B фредгольмов или нетеров и имеет полный A-жорданов
набор, либо оператор A является спектрально ограниченным относительно B.
Ключевые слова: матричная фундаментальная оператор-функция, обобщенная функция,
банахово пространство.
Введение
Рассматривается система дифференциальных уравнений N-го порядка вида
с начальными условиями
B dN u
= ΛAu(t) + f(t) (1)
dtN u(0) = u 0 , u ′ (0) = u 1 , . . . , u (N−1) (0) = u N−1 , (2)
здесь B, A — замкнутые линейные операторы, действующие из банахова пространства E 1
в банахово пространство E 2 , D(B) = D(A) = E 1 , D(B) ⊂ D(A), u(t) — искомая векторфункция
(столбец) размерности s, каждая компонента которой u ν (t) является функцией
со значениями в E 1 , f(t) — заданная вектор-функция (столбец) размерности s, имеющая
компоненты f ν (t) со значениями в E 2 , ν = 1, . . . , s, оператор B необратим, R(B) = R(B),
под записью Au(t) понимается вектор-функция (столбец) с компонентами Au ν (t), ν =
1, . . . , s, Λ — невырожденная квадратная матрица порядка s.
В работах [1, 2] исследовалась система (1)–(2) в случае N = 1. Результаты, приведенные
в данной статье, являются обобщением теорем, полученных в [1, 2].
1. Основные понятия
Сведения из теории матриц. Поскольку det Λ ≠ 0, то характеристические числа
λ 1 , λ 2 , . . . , λ µ матрицы Λ отличны от нуля и тогда элементарные делители матрицы Λ
имеют вид (λ − λ 1 ) q 1
, (λ − λ 2 ) q 2
, . . . , (λ − λ µ ) qµ (среди чисел λ 1 , λ 2 , . . . , λ µ могут быть и
равные между собой), q 1 + q 2 + · · · + q µ = s.
Каждому из элементарных делителей (λ − λ i ) q i
, i = 1, . . . , µ, поставим в соответствие
103