Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

(
разбитые на (n×n)− блоки, причем Γ − En 0
ν Γ ν =
S 1 S 2
)
, где l = (ν+1)n, S 1 , S 2 −некоторые
блоки подходящей размерности.
Доказательство. Рассмотрим линейную алгебраическую систему
Γ ν X = 0. (17)
Умножим ее блочные строки на коэффициенты многочлена L(λ) с одинаковыми номерами
и сложим их. Получим, что первые n компонент вектора X равны нулю, так как первые
n уравнений приобретут вид (E n 0)X = 0. Любое решение системы (16) имеет вид X =
[E − Γ − ν Γ ν ]C, где C−произвольный вектор из R n(ν+1) [8]. Так как первые n компонент
вектора C равны нулю, имеет место равенство (17). Лемма доказана.
3. О связи доминантного свойства и кратности решений
Применим ДС к исследованию систем вида (1), предполагая, что n = m. Образуем
матрицы A i (x) по правилу
α i (x) = q i · · · q 2 q 1 α 0 (x), α 0 (x) = A 0 (x), i = 1, 2, · · · , (18)
где A 0 (x) определена по формуле (2), q i − операторы из формулы (4), и построим c использованием
матриц из (18) λ−матрицу
A k (λ) =
k∑
λ k−i α i (x ∗ ). (19)
i=0
Теорема 1. Значение левой кратности корня x ∗ системы (1) равно k + 1 тогда и
только тогда, когда λ−матрица (19) удовлетворяет ДС:
deg det A k (λ) k rank α 0 (x ∗ ).
Доказательство. Для упрощения выкладок предположим, что k = 2. Скалярные
операторы q i = (grad ⊤ , c i ) перестановочны с операцией вычисления матрицы Якоби ∂/∂x.
Пусть
det ∂F 2 (x)/∂x| x=x ∗ = det[E + q 1 S 1 + q 2 S 2 + q 2 q 2 S 2 S 1 ]A 0 (x)| x=x ∗ ≠ 0.
С другой стороны для многочлена A 2 (λ) = λ 2 α 0 (x ∗ ) + λα 1 (x ∗ ) + α 2 (x ∗ ) имеем
α (2)
0 (x ∗ ) = α 0 (x ∗ ) + S 1 α 1 (x ∗ ) + S 2 α 1 (x ∗ ) + S 2 S 1 α 2 (x ∗ ).
где S i −матрицы из формулы (9), и учтено, что S 1 α 0 (x ∗ ) = 0, S 2 (α 0 (x ∗ ) + S 1 α 1 (x ∗ )) = 0.
Итак, мы получим равенство ∂F 2 (x)/∂x| x=x ∗ = α (2)
0 (x ∗ ). Согласно лемме 3 многочлен A 2 (λ)
обладает ДС. Очевидно, что справедливо и обратное утверждение. Для k > 2 доказательство
полностью аналогично. Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть существует вектор c ∗ ∈ R n , для которого пучок матриц, построенный
по формуле (18)
A 1 (λ) = λA 0 (x) + q 1 A 0 (x)| x=x ∗,
48