Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

Из (21) следует, что для неотрицательности этой формы достаточно потребовать
(3b i2 j 2 k 3 m 3
+ 2 √ √ ) ( )
b i3 j 1 k 3 m 3 bi1 j 3 k 3 m 3
0, i ≠ j ≠ k ≠ m ≠ n; i, j, k, m, n = 1, 5
(22)
Пусть b i3 j 1 k 2 m 2 n 2
0, тогда форма ∑ b i3 j 2 k 2 m 2 n 1
d 3 i d 2 jd 2 k d2 md n +b 12 2 2 3 2 4 2 5 2
d 2 1d 2 2d 2 3d 2 4d 2 5 может быть
записана в виде:
∑ ( √
d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 bi3 j 1 k 2 m 2 n 2
d i − √ ) 2dk (
b i1 j 3 k 2 m 2 n 2
d j d m d n + b 12 2 2 3 2 4 2 5 2
+
2 ∑ √ √ ( ) (23)
b i3 j 1 k 2 m 2 n 2 bi1 j 3 k 2 m 2 n 2
)d 2 1d 2 2d 2 3d 2 4d 2 5, i ≠ j ≠ k ≠ m ≠ n; i, j, k, m, n = 1, 5
и для ее неотрицательности достаточно выполнение неравенства:
(b 12 2 2 3 2 4 2 5 2
+ 2 ∑ √ √ ) ( )
b i3 j 1 k 2 m 2 n 2 bi1 j 3 k 2 m 2 n 2
0, i ≠ j ≠ k ≠ m ≠ n; i, j, k, m, n = 1, 5 .
(24)
При выполнении этих условий f 0 0 для всех D ∈ D 5 . Следовательно, имеет место
следующая теорема
Теорема 2. Матрица A ∈ M 5 (R) D-устойчива, если выполнены условия A ∈ (−P 0 ),
δ ij 0, b i4 j 2 k 2 m 2
0, b i3 j 1 k 2 m 2 n 2
0, b i3 j 3 k 3 m 1
0,
(3b i4 j 2 k 2 m 1 n 1
+ 2 √ √ )
b i4 j 2 k 2 m 2 bi4 j 2 k 2 n 2
0,
(b 12 2 2 3 2 4 2 5 2
+ 2 ∑ √ √ )
b i3 j 1 k 2 m 2 n 2 bi1 j 3 k 2 m 2 n 2
0,
(3b i2 j 2 k 3 m 3
+ 2 √ √ )
b i3 j 1 k 3 m 3 bi1 j 3 k 3 m 3
0,
( )
i ≠ j ≠ k ≠ m ≠ n; i, j, k, m, n = 1, 5 . Заметим,что случай, когда в условиях теоремы
(3) все неравенства одновременно обращаются в равенства, требует дополнительного
исследования.
Список литературы
[1] K.J.Arrow , M.McManus A note of dynamic stability.- Econometrica. 1958, V.26, p.448-
454.
[2] Ю.М.Свирежев, Д.О. Логофет Устойчивость биологических сообществ. М.:Наука,
1978, 280 с.
[3] C.R.Johnson Sufficient Conditions for D-Stability.- Journal of Economic Theory, no 9,1974,
p.53-62.
[4] C.R.Johnson D-Stability and Real and Complex Quadratic Forms.- Linear Algebra and its
Applications, no 9, 1974, p.89-94.
[5] G.W.Cross Three Types of Matrix Stability.-Linear Algebra and its Applications, no 20,
1978, p.253-263.
[6] Г.В.Кановей, Д.О.ЛогофетD-устойчивость матриц 4×4. - Журнал вычислительной
математики и математической физики, том 38, N 9, 1998, с. 1429-1435.
[7] Г.В.Кановей,В.Н. Нефедов О необходимом условии положительности действительного
полинома от нескольких переменных в положительном ортанте. - Вестник
МГУ, серия 15, Вычислительная матем. и кибернетика, N 2,2000, с. 24-29.
38