Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

More documents

Recommendations

Info

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ ДВУМЕРНЫХ ИНТЕ- ГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 М.В. Булатов, О.А. Битхаева Институт динамики систем и теории управления, Иркутск Межотраслевой центр оценки качества и профессиональной переподготовки, Иркутск e-mail: mvbul@icc.ru Аннотация. В статье рассмотрены системы линейных двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с тождественно вырожденной матрицей перед главной частью. Сформулированы достаточные условия существования непрерывного решения таких задач. При выполнении этих условий предложен численый метод решения, основанный на кубатурных формулах правых прямоугольников. Ключевые слова: кубатурные формулы. системы двумерных интегральных уравнений, вырожденная матрица, Введение В статье рассмотрены системы интегральных уравнений Вольтерра: в прямоугольной области A(t, x)u(t, x) + ∫ t ∫ x 0 0 K(t, x, τ, s)dsdτ = f(t, x) (1) Ω = {(t, x) : 0 t a, 0 x b}, где A(t, x), K(t, x, τ, s) − (n × n) матрицы, f(t, x) − заданная, u(t, x) − искомая n-мерные вектор-функции. Под решением исходной задачи здесь подразумевается любая непрерывная векторфункция u(t, x), которая обращает (1) в тождество. Предполагается, что входные данные A(t, x), f(t, x), K(t, x, τ, s) обладают той степенью гладкости, которая необходима для дальнейших рассуждений. Принята следующая классификация систем (1): а) если A(t, x) − тождественно нулевая матрица, то такие системы называют системами интегральных уравнений Вольтерра (СИУВ) I рода. б) если A(t, x) ≡ E− единичной матрице, или det A(t, x) ≠ 0 ∀(t, x) ∈ Ω, то - СИУВ II рода. 1 Работа выполнена при поддержке проектов: РФФИ № 07-01-9000-Вьет, заказным междисциплинарным проектом №5 <strong>СО</strong> <strong>РАН</strong> и грантом президента РФ НШ-1676.2008.1 27
в) если det A(t, x) вырождается в конечном числе точек (t, x) ∈ Ω, то СИУВ III рода. Точки, в которых происходит данное выраждение, называются особыми. В настоящей работе исследованы на предмет единственности решения задачи вида (1), у которых в области Ω и предложен алгоритм решения. 1. Постановка задачи det A(t, x) ≡ 0 (2) Перед тем, как формулировать условия существования единственного решения, приведем некоторые результаты и определения. Теорема 1. [1]. Система интегральных уравнений ∫ t K 0 1(t, x, τ)u(τ, x)dτ + ∫ x K 0 2(t, x, s)u(t, s)ds + + ∫ t ∫ x K 0 0 3(t, x, τ, s)u(τ, s)dτds = ψ(t, x), где K 1 (t, x, τ), K 2 (t, x, s), K 3 (t, x, τ, s) − матрицы с непрерывными в области 0 τ t a, 0 s x b элементами и с непрерывной вектор-функцией ψ(t, x) имеет единственное непрерывное решение u(t, x). Определение. [2]. Пучок матриц λA(t, x) + B(t, x) удовлетворяет критерию "рангстепень"в области Ω, если rank A(t, x) = deg det(λA(t, x) + B(t, x)) = k = const. Здесь deg(·) означает операцию взятия степени полинома. Операция deg(0) не определена. Лемма. [1]. Пусть элементы матриц A(t, x), B(t, x) ∈ CΩ P и пучок λA(t, x) + B(t, x) удовлетворяет критерию "ранг-степень", тогда существует невырожденные для любых (t, x) ∈ Ω квадратные матрицы P (t, x), Q(t, x) с элементами из CΩ P такие, что ( ) ( ) Ek 0 J(t, x) 0 P (t, x) (λA(t, x) + B(t, x)) Q(t, x) = λ + , (3) 0 0 0 E n−k где J(t, x) − (k × k)− матрица, а 0 − нулевые блоки подходящей размерности. Теорема 2. Пусть для системы (1) выполнены условия: 1. Элементы A(t, x), f(t, x) ∈ C 2 в области Ω. 2. Элементы матрицы K(t, x, τ, s) ∈ C 2 в области 0 τ t a, 0 s x b. 3. rank A(t, 0) = rank (A(t, 0) | f(t, 0)), rank A(0, x) = rank (A(0, x) | f(0, x)). 28
Page 2 and 3: Российская академи
Page 4 and 5: Russian Academy of Sciences (RAS) R
Page 6 and 7: СОДЕРЖАНИЕ Абдулли
Page 8 and 9: ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ
Page 10 and 11: W2,0 S = {x ∈ W1,0 V : f 1 (x)
Page 12 and 13: при W 0 ≠ ∅ и f 1 W 0 ⊂ G
Page 14 and 15: Список литературы [
Page 16 and 17: О ДВУХ ПОДХОДАХ К П
Page 18 and 19: 2. Ниже рассматрива
Page 20 and 21: то Случай N = 2, L 1 > 0, L
Page 22 and 23: СРАВНЕНИЕ АЛГОРИТМ
Page 24 and 25: Совершенно другой
Page 26 and 27: а) б) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2
Page 30 and 31: 4. Пучок матриц λA(t, x
Page 32 and 33: Список литературы [
Page 34 and 35: Определение 1. Матр
Page 36 and 37: Достаточные услови
Page 38 and 39: Список (17) содержит
Page 40 and 41: [8] B.E.Cain Real, 3 × 3 D-stable
Page 42 and 43: 12 2 2 3 2 4 2 5 2 = −∆ 2 5 −
Page 44 and 45: О СВОЙСТВАХ КОНЕЧН
Page 46 and 47: Из определения 2 сл
Page 48 and 49: где E ρn ( + λ(E ρn − AA
Page 50 and 51: где c 1 = (E−A − 0 A 0 )c
Page 52 and 53: ( ) ( ) ( ) x2 − x F 1 (x) = 2 1
Page 54 and 55: дополнение. Тогда о
Page 56 and 57: 6. Заключение Иссле
Page 58 and 59: ON THE PROPERTIES OF FINITE-DIMENSI
Page 60 and 61: где dσ - элемент пло
Page 62 and 63: Таким образом, сист
Page 64 and 65: т.е. P - это соприкас
Page 66 and 67: в которых равномер
Page 68 and 69: абсолютные значени
Page 70 and 71: МЕТОД НОРМАЛЬНЫХ С
Page 72 and 73: значения изображен
Page 74 and 75: матрицей Грама кан
Page 76 and 77: узлов на каждой. По
Page 78 and 79:
МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВА
Page 80 and 81:
водить теоретическ
Page 82 and 83:
циально-алгебраиче
Page 84 and 85:
К системе (9) примен
Page 86 and 87:
[4] В.В. Дикуcap. Метод
Page 88 and 89:
где I(x(t)) = ∫ T t 0 a t−t
Page 90 and 91:
Заметим, что (6)-(13) -
Page 92 and 93:
1.4 1.2 1 y 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 2 3
Page 94 and 95:
Потребуем Дифферен
Page 96 and 97:
ON DEVELOPING SYSTEMS MODELS I.V. K
Page 98 and 99:
очень затруднитель
Page 100 and 101:
Теорема 1.3. Пусть пу
Page 102 and 103:
Далее по формулам,
Page 104 and 105:
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ОП
Page 106 and 107:
Покажем единственн
Page 108 and 109:
Для завершения док
Page 110 and 111:
где U Nν (t) = 1 ∫ 2πi γ (
Page 112 and 113:
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ
Page 114 and 115:
Количественные и к
Page 116 and 117:
Рис. 1: Изменение ск
Page 118 and 119:
THE NUMERICAL SOLUTION FOR ONE PROB
Page 120 and 121:
Определение 2. [1] Со
Page 122 and 123:
Далее нетрудно сос
Page 124 and 125:
Далее подействуем
Page 126 and 127:
Список литературы [
Page 128 and 129:
поле описывается у
Page 130 and 131:
∑ ∫ (u kl − u 0 kl) (k,l)∈D
Page 132 and 133:
5. Численный экспер
Page 134 and 135:
к тому, что первый п
Page 136 and 137:
умноженную на любо
Page 138 and 139:
1) p < 2 √ r; 2) p 2 √ r. В
Page 140 and 141:
V 1 (z) , доставляющие
Page 142 and 143:
[8] Курош А.Г. Курс вы
Page 144 and 145:
порядка точности п
Page 146 and 147:
где k 1 и k 2 вычисляю
Page 148 and 149:
меньше последнего
Page 150 and 151:
жесткая для явных м
Page 152 and 153:
AN ALGORITHM BASED ON THE SECOND OR
Page 154 and 155:
распознавание, мин
Page 156 and 157:
Пусть A i (δ) - интерв
Page 158 and 159:
как алгоритмы рабо
Page 160 and 161:
где оператор Φ(V, λ)
Page 162 and 163:
Подставляя получен
Page 164 and 165:
IMPLICIT FUNCTION THEOREM IN SECTOR
Page 166 and 167:
локальной выборки,
Page 168 and 169:
˜z (1) k на опорном из
Page 170 and 171:
где g - отношение си
Page 172 and 173:
[4] Самойлов М. Ю. Опт
Page 174 and 175:
K(t) = A + ∫ t 0 k(s)ds. Теор
Page 176 and 177:
при i = 1, . . . , n. По та
Page 178 and 179:
Из представления ˜B
Page 180 and 181:
поэтому условия со
Page 182 and 183:
О СВОЙСТВАХ ВЫРОЖД
Page 184 and 185:
Продифференцируем
Page 186 and 187:
[3] Булатов М.В. Числ
Page 188 and 189:
реальных постаново
Page 190 and 191:
Обычные интервалы
Page 192 and 193:
3. Вычисление форма
Page 194 and 195:
Но rad (GH) |G| · rad H для
Page 196 and 197:
YET ANOTHER VERSION OF FORMAL APPRO
Page 198 and 199:
специального вида (
Page 200 and 201:
s k = 0, при k < 0 или k > n.
Page 202 and 203:
Шаг 2. Найти (оценит
Page 204 and 205:
THE TOLERABLE SOLUTION SET OF INTER
Page 206 and 207:
Obviously function F x (η) is posi
Page 208 and 209:
О НЕПРЕРЫВНОМ РЕШЕ
Page 210 and 211:
Forh ∈ (0, h 0 ], letx k = a + kh
Page 212 and 213:
The region is the intersection of t
Page 214 and 215:
6. Conclusions. A block-type family
Page 216:
ТРУДЫ секции "Вычис
show all

Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?