Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

Пусть A i (δ) – интервальная n×n-матрица, с элементами [a ij −δ, a ij +δ]. Тогда A ∈ A i0 (δ)
для некоторого δ. Изменяя δ (0 < δ ≤ ∆), будем оценивать расстояние от x 0 до множеств
Ξ(A i (δ), b), где x 0 – решение системы линейных алгебраических уравнений Ax = b. Если
для некоторого δ выполняется x 0 ∈ Ξ(A j (δ), b), то матрица A является зашумленной
матрицей A j .
Поскольку возможна ситуация, когда при некотором δ ≤ ∆ имеется несколько значений
j т.ч. A ∈ A j (δ), и в такой ситуации распознавание таким способом невозможно, в ходе
итераций алгоритма будем оценивать не вхождение x 0 в Ξ(A i (δ), b) , а близость значения
x 0 к множествам Ξ(A i (δ), b) при изменении значения δ.
Второй предлагаемый алгоритм распознавания числовых матриц – алгоритм, работающий
с обыкновенными, неинтервальными системами уравнений. При этом оценка множества
решений интервальной линейной системы уравнений находится по отдельным его
элементам, получаемым случайным образом в ходе варьирования δ. На итерациях алгоритма
производятся возмущения матриц в пределах [a ij − ∆, a ij + ∆], заданных на старте
алгоритма. Находятся точки из множеств (представители множеств) Ξ(A i (δ), b), с помощью
которых оценивается близость x 0 к множествам Ξ(A i (δ), b).
При нахождении представителей множеств производится решение систем линейных алгебраических
уравнений с матрицами, модифицированными до матриц со строгим диагональным
преобладанием, что обеспечивает сходимость к точному решению с уточнением
на один разряд мантиссы приближенного решения на каждой итерации метода Гаусса-
Зейделя решения неинтервальных систем линейных уравнений. Модифицирование матрицы
A с элементами a ij (i, j = 1, n) производится следующей заменой их диагональных
элементов:
n∑
a ii := a ii + a ij + 1.
В приведенной ниже схеме алгоритма m – число итераций, p – число решений из множества
Ξ(A i (δ k ), b), рассматриваемого на k-й итерации алгоритма. Значение δ k определяется
на каждой итерации как δ k = (∆/m) × k. ρ(x, y) – евклидово расстояние между x и
y (x, y ∈ R n ).
Шаг 1. ∆ := max
1≤i,j≤n
1≤k≤L
i≠j
Алгоритм 2
распознавания числовых матриц
|a k ij − a ij |. s i := 0, s j i
:= 0 для i = 1, L, j = 1, m.
Шаг 2. Найти x 0 – решение системы уравнений Ax = b.
Шаг 3. Для k = 1, m сгенерировать множество матриц {Ãj i (δ k)} p j=1 .
Шаг 4. Решить системы линейных уравнений Ãj i (δ k) = b для i = 1, L, j = 1, p.
{x k ij} – полученные решения.
Шаг 5. Вычислить {ρ k i } L i=1:
ρ k i := min
1≤j≤p {ρ(x 0, x k ij)}.
Шаг 6. Для всех k = 1, m: если q т.ч. ρ k q = min
1≤i≤L {ρk i }, то s k q := s k q + 1.
Шаг 7. Вычислить {s i } L i=1:
m∑
s i := s k i .
k=1
155