Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

и
∫
|(||A(ψ ⋆−1 (p)) − ∇φ ⋆ h(p)|| + | det A(ψ ⋆−1 (p)) − det ∇φ ⋆ h(p)|) dσ → 0 (18)
P ⋆ h
Таким образом, последовательность многогранных поверхностей, на которой такой
дискретный функционал ограничен, остается в классе поверхностей ограниченной кривизны
при измельчении.
Заметим, что класс поверхностей с ограниченными мерами кривизны в смысле нормального
изображения является подмножеством липшицевых поверхностей.
Заметим, что метод вычисления внешних дискретных кривизн можно обобщить и на
случай поверхности с краем. К тому же принцип двойственности естественно обобщается
на случай d-мерных поверхностей в (d + 1) мерном пространстве и позволяет построить
для них дискретную внешнюю кривизну. В частности, доказательство базовых теорем 3
и 4 по существу не использует тот факт, что d = 2.
3. Дискретные меры кривизны в случае нерегулярных многогранников.
Ранее были рассмотрены дискретные меры кривизны для пар двойственных друг другу
многогранников, все вершины которых являются регулярными. Между тем, многогранник,
вписанный в регулярную поверхность, может содержать нерегулярные вершины даже
в том случае, если нормали к граням многогранника сходятся к точным нормалям поверхности
при измельчении.
Окрестность нерегулярной вершины p l i триангуляции можно описать как “веер”, т.е.
конус K + со складками. Нормальное изображение Σ + вершины веера является неодносвязной
областью, граница которой - самопересекающаяся ломаная, что показано на рис. 5
а). Поскольку конус K + лежит в одном полупространстве, для него можно построить выпуклую
оболочку - конус K p + . Нормальным изображением вершины конуса K p + . является
выпуклый многоугольник Σ + p , показанный на рис. 5 а). жирными линиями. Будем называть
Σ + p главной компонентой нормального изображения. Главную компоненту можно
построить и для седловой точки, показанной на рис. 5 б).
Из веера K − отбрасываются ребра до тех пор, пока не получается каноническое седло
Kp
− , нормальным изображением которого является четырехугольник со сторонами неположительного
поворота, показанный жирными линиями. И наконец, на рис. 5 б) показан
конус, для которого нормальное изображение не определено.
Построение главной компоненты фактически означает, что вместо исходной многогранной
поверхности дискретная кривизна вычисляется для другой поверхности, с тем
же множеством вершин. Таким образом, даже на регулярной поверхности часть ребер
аппроксимирующего многогранника лишь мешают правильной сходимости.
Назовем дискретную меру кривизны, основанную на главной компоненте нормального
изображения главной компонентой дискретной меры кривизны.
Когда нормальное изображение F i является самопересекающимся, то его можно разбить
на простые замкнутые дуги, ограничивающие простые многоугольники, причем направление
обхода этих многоугольников разное. Если просуммировать площади этих многоугольников
со знаком, соотвествующим направлению обхода, то получим величину, которая
при стремлении диаметра F i к нулю сходится к 2π − ∑ θ ij , где θ ij - углы граней
при i-й вершине, т.е. к внутренней кривизне многогранника. Однако можно суммировать
66