Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

ВЫЧИСЛЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ КРИВИЗН МНОГОГРАННЫХ АП-
ПРОКСИМАЦИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ПОЛЯРНЫХ
МНОГОГРАННИКОВ 1
В.А. Гаранжа, ВЦ РАН, Москва
e-mail: garan@ccas.ru
Аннотация. Принцип двойственности (или метод исчерпывания) для вычисления длины дуги
и площади выпуклых областей был предложен древнегреческим геометром и механиком Архимедом
в работе “Измерение круга”. По сути, он предложил численный метод вычисления длины
дуги и площади круга, используя последовательность вписанных и описанных многоугольников,
в результате чего удалось доказать сходимость численной аппроксимации и получить двусторонние
оценки решений. В данной работе показано, что все более подробная последовательность
пар локально полярных многогранников позволяет строить кусочно-аффинную аппроксимацию
сферического гауссова отображения поверхностей, получать сходящиеся поточечные аппроксимации
средней и гауссовой кривизны, а также строить дискретные аналоги мер изгибания
поверхности.
Ключевые слова: полярные многогранники, дискретные кривизны, поверхности ограниченной
кривизны, энергия изгибания.
1. Дискретные функционалы кривизны и поверхности ограниченной кривизны
Одна из трудных задач современной геометрии - это задача приближения нерегулярных
поверхностей многогранниками. В смысле внутренней геометрии эта задача была
полностью решена в работах А.Д. Александрова и его школы[1], в которых были предложены
методы построения “правильных” приближений многообразий ограниченной кривизны
многогранными многообразиями. Однако эти результат не позволяют рассмаривать
вопрос о “правильном” приближении поверхности многогранником. Класс поверхностей,
для которого нужно построить аппроксимирующую многогранную поверхность, вполне
ясен - это класс поверхностей ограниченной внешней кривизны [2], [3], [4], [5].
Определим меры кривизны для нерегулярной поверхности M, которые можно ввести в
результате предельного перехода при помощи построения последовательности многогранных
поверхностей P k . Данные поверхности: а) сходятся поточечно к M при k → ∞; б)
сходятся к M равномерно в смысле внутренней метрики, причем положительные и отрицательные
кривизны P k сходятся к положительным и отрицательным кривизнам M в
слабом смысле; в) сферические отображения P k сходятся к сферическому отображению
M в слабом смысле. В такой постановке задача приближения до сих пор не решена [6].
Расмотрим функционалы кривизны, которые потенциально могут быть и спользованы
для исследования подклассов поверхностей ограниченной внешней кривизны. Пусть M -
регулярная двумерная поверхность в R 3 . Рассмотрим функционал
E g (M) = 1 ∫
g(A) dσ, g(A) | det A|, (1)
2
M
1 Работа выполнена при поддержке Отделения математических наук РАН, проект ОМН-03
58