Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

Теорема 3. Оператор B − λA непрерывно обратим в окрестности 0 < |λ| < ρ тогда
и только тогда, когда B имеет канонический полный A-жорданов набор. Причем при
λ < 1
‖AΓ‖
(B − λA) −1 = Γ (I − λAΓ) −1 (I − Q) −
p n∑ ∑ i
i=1
j=1
j∑ 〈 〉
λ −s · , ψ (j+1−s)
i ϕ (p i+1−j)
i . (11)
s=1
Теорема дополняет один известный результат о жордановых наборах (см. [3, гл.
9], [4]), так как здесь приводится компактное явное представление обратного оператора
(B − λA) −1 . Доказательство тождества (11) использует {P, Q}-сплетаемость операторов
B, A, Γ и представление единственного решения уравнения (B − λA) x = f в ви-
∑ pi
де x = Γy + ∑ n
i=1
, где y = (I − λAΓ) −1 (I − Q) f. Вектор C из пространства
R p 1+...+p n
определяется из системы линейных алгебраических уравнений с обратимой
блочно-диагональной матрицей.
j=1 c ijϕ (j)
i
Следствие 1. Оценка ∥ ∥(B − λA) −1∥ ∥ ∼
C при λ → 0 (соответственно, оценка
∥ ∥ (µB − A)
|λ| p
−1 ∼ C |µ| p−1 при µ → +∞) выполнена тогда и только тогда, когда
p = max(p 1 , . . . , p n ).
[〈 〉] n
Замечание 1. p = 1 тогда и только тогда, когда det Aϕ (1)
i , ψ (1)
k
≠ 0.
i,k=1
Список литературы
[1] Н.А. Сидоров. Минимальные ветви решений нелинейных уравнений и асимптотические
регуляризаторы. - Нелинейные граничные задачи, 2004, вып. 14, с. 161-164.
[2] Р.Ю. Леонтьев. Теорема о неявном операторе в секториальных областях. - Материалы
конференции „Ляпуновские чтения“, 2007, с. 20.
[3] М.М. Вайнберг, В.А. Треногин. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. –
М: Наука, 1969, 527 с.
[4] Б.В. Логинов. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления. - Прямые и
обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных и приложения,
1978, с. 133-148.
[5] В.A. Треногин Функциональный анализ. – М: Физматлит, 2002, 488 с.
162