Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

где dσ - элемент площади, A ∈ R 2×2 - матрица оператора формы, или тензор кривизны
поверхности, задаваемый равенством
A = G −1 T,
где G и T - это матрицы первой и второй фундаментальной форм, соответственно, а g(A)
- некоторая плотность меры кривизны поверхности. Из ограниченности энергии E g (M)
следует, что абсолютная (гауссова) кривизна поверхности M ограничена сверху.
Матрица A есть не что иное как
матрица якоби сферического отображения
µ. Напомним, что сферическое
отображение сопоставляет
каждой точке p на регулярной поверхности
M точку на единичной
сфере S 2 , куда попадает единичная
нормаль ν(p). Нормальное изображение
окрестности точки p получается,
если все нормальные лучи,
выходящие с поверхности, продолжить
до пересечения с плоскостью,
ν
p
ψ(p)
Рис. 1: а) Сферическое и нормальное изображение ,
б) нормальный график над поверхностью.
проходящей через p + ν(p) и ортогональной вектору ν(p) (см. рис. 1 а)).
Будем говорить, что многогранная поверхность P h является нормальным графиком над
M, если проекция ψ поверхности M на P h вдоль нормалей к M является гомеоморфизмом,
что показано на рис. 1 б).
В качестве меры изгибания регулярной поверхности можно использовать функционал
E 2 (M) = 1 2
∫
M
tr(A T A) dσ
Абсолютный минимум этого функционала достигается на сфере. Ясно, что среднеквадратичная
энергия изгибания E 2 непригодна для описания свойств нерегулярных поверхностей,
поскольку она принимает принимает бесконечное значение на многогранниках.
Если дискретная энергия изгибания мажорирует внешнюю абсолютную гауссову кривизну
многогранника и остается ограниченной при измельчении триангуляции, то можно
ожидать, что поверхность, к которой сходится эта триангуляция, будет поверхностью
ограниченной кривизны.
Таким образом, наряду со среднеквадратичной кривизной, необходимо рассматривать
другие меры внешней кривизны поверхности, которые определены для многогранников
и позволяют сравнивать между собой нерегулярные поверхности. В качестве таких мер
можно использовать, например, следующие функционалы:
∫
E 1 (M) = ( ( tr(A T A) ) 1 2
+ | det A|) dσ (2)
M
p
P
и
где ε > 0 - постоянная.
M
E ε (M) = 1 √
2
∫
M
tr(A T A) (ε + | det A|) 1 2
(ε + tr(A T A)) 1 2
dσ, (3)
59