Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

Продифференцируем 3-е уравнение полученной системы по t:
3∑
S 3j (t, t)y j (t) +
3∑
∫ t
j=1
j=1
0
∂S 3j (t, s)
y j (s)ds =
∂t
˜f 3(t),
′
или, учитывая значение ядра S(t, s) на диагонали,
y 3 +
3∑
∫ t
j=1
0
∂S 3j (t, s)
y j (s)ds =
∂t
˜f 3(t).
′
Легко проверить, что решения исходного уравнения и продифференцированного совпадают
в силу условия 2 теоремы. Разрешив последнее равенство относительно y 3 , подставим
найденное для него выражение в первые два уравнения системы. Далее, выразив из второго
уравнения y 2 , поставим его в первое уравнение. В результате получим
ẏ 1 + B 11 y 1 + Uy 1 = F, (5)
где U – оператор Вольтерра с некоторым ядром K U (t, s), a F – некоторое алгебраическое
выражение относительно ˜f 1 (t), ˜f 2 (t), ˜f ′ 3(t) и соответствующих операторов Вольтерра,
действующих на перечисленные функции.
Далее, разрешив (5) как обыкновенное дифференциальное уравнение вида
ẏ 1 + B 11 y 1 = Ψ, Ψ = F − Uy 1 ,
получим
y 1 = Y (t)c + W F + M 1 (t) ˜f 1 (t) + M 2 (t) ˜f 2 (t) + N 3 (t) ˜f ′ 3(t),
∫ t
W F = K W (t, s)F(s)ds.
t 0
Последовательно подставляя y 1 во второе и третье уравнения системы, найдем выражение
для y(t) и после умножения на Q получим следующий вид для общего решения системы
(1):
x(t, c) = X(t)c +
∫ t
0
˜K(t, s)f(s)ds + N(t)f(t) + M(t)f ′ (t), (6)
где X(t) – некоторая прямоугольная матрица размерности n × r, c ∈ R r .
Теорема доказана.
2. Численный метод
Для численного решения задачи (1),(2) предлагается использовать неявный метод Эйлера
в сочетании с квадратурной формулой правых прямоугольников:
∑i+1
A i+1 (x i+1 − x i ) + hB i+1 x i+1 + h K(t i+1 , t j )x j = hf i , i = 0, 1, 2, . . . , (6)
j=1
183