Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

задача Коши (1)–(2) однозначно разрешима в классе непрерывных функций, остающаяся
при этом регулярная составляющая будет являться искомым непрерывным решением.
3. Фундаментальная оператор-функция в условиях нетеровости
Теорема 2. Пусть в системе (1) det Λ ≠ 0, оператор B нетеров, выполнено условие
B) и n > m. Тогда дифференциальный оператор ( Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) имеет на классе
K +(E ′ 2 ) матричную фундаментальную оператор-функцию, определяемую формулами (6),
(7), (8), в которых при ν = 1, . . . , µ
[
]
∑
E Nν (t) = B + U Nν (λ ν AB + t) I − n ∑p i
〈·, ψ (j) 〉Aϕ (p i+1−j)
θ(t)−
− n ∑
i=1
[
pi
{
−1 pi −k
∑
k=0
∑
j=1
〈·, ψ (j)
i
〉λ −k−1
ν
U Nν (λ ν AB + t) = ∞ ∑
i=1
i=1 j=1
i
ϕ (p i−k+1−j)
i
(λ ν AB + i−1 tiN−1
)
i
} ]
δ (Nk) (t) ,
(iN−1)! .
Здесь ψ (1)
i = 0 при i = m + 1, . . . , n, а функционалы ψ (j)
i ∈ E2, ∗ i = m + 1, . . . , n, j = 2, . . . , p i
являются произвольными.
Доказательство этой теоремы как и теоремы 1 состоит в проверке определения матричной
фундаментальной оператор-функции.
Теорема 3. Пусть в системе (1) det Λ ≠ 0, оператор B нетеров, выполнено условие
В) и n < m. Тогда матричная оператор-функция из теоремы 2 является фундаментальной
для дифференциального оператора (Bδ (N) (t) − ΛAδ(t)) на подклассе обобщенных
функций из K +(E ′ 2 ), удовлетворяющих условиям
{
}
σN r 1
(t), σN r 2
(t), . . . , σN r µ
(t) ∗ ũ(t) = 0, r = n + 1, . . . , m,
{
}
где σN r 1
(t), σN r 2
(t), . . . , σN r µ
(t) — блочная квадратная квазидиагональная матрица размера
s с диагональными блоками верхнетреугольного типа
σ r N ν
(t) = E (q ν) 〈 U N (λ ν AB + t)·, ψ r
〉
zr θ(t) ∗ σ Nν (t), ν = 1, . . . , µ,
представление для σ Nν (t) см. в формуле (8).
Замечание 1. Если m = n, т.е. оператор B фредгольмов, то B + = Γ и теорема 2
становится теоремой 1.
Замечание 2. Из теорем 2 и 3 вытекают следствия, аналогичные следствиям 1 и
2 для теоремы 1.
3. Фундаментальная оператор-функция в условиях спектральной ограниченности
Теорема 4. Пусть в системе (1) det Λ ≠ 0, оператор A спектрально ограничен
относительно B. Тогда дифференциальный оператор (Bδ (N) (t)−ΛAδ(t)) имеет на классе
K +(E ′ 2 ) матричную фундаментальную оператор-функцию, определяемую формулами (6),
(7), (8), в которых при ν = 1, . . . , µ
E Nν (t) = U Nν (t)B −1
1 Qθ(t) −
∞∑
k=0
108
(A −1
0 B 0 ) k
λ k+1
ν
A −1
0 (I − Q)δ (Nk) (t),