Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

g(x(t)). Положим A −
⎛
B(x) =
⎜
⎝
= A. В этом случае
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
− ∂f 4(x)
∂x 1
− ∂f 4(x)
∂x 2
0 −1 − ∂f 4(x)
∂x 5
0 0 − ∂f 5(x)
∂x 3
0 −1
⎞
, g(x(t)) = f(x(t)). (5)
⎟
⎠
2. Численные методы
Зададим на отрезке [0, 1] равномерную сетку
Введем обозначения
∆ h = {t i = ih, i = 0, 1, · · · , N, N = 1/h}.
x i = x(t i ), B i = B(x i ), g i = g(x i ).
Явные линейные многошаговые методы, разработанные для систем обыкновенных
дифференциальных уравнений, примененные к задаче (2), имеют вид
k∑
α j x i+1−j = h
j=0
k∑
β j B −1 (x i+1−j , t i+1−j )g(x i+1−j , t i+1−j ). (6)
j=1
Лемма. Пусть p(t), q(t) - равномерно ограниченные на отрезке [0, 1] функции.
Для ∀t i ∈ [0, 1] верны следующие оценки ‖ p i − ∑ k
j=1 β jp i−j+1 ‖= O(h m ) и
‖ q i − ∑ k
j=1 β jq i−j+1 ‖= O(h m ). Тогда можно утверждать, что ‖ p i q i −
∑ k
j=1 β ∑ k
jp i−j+1 j=1 β jq i−j+1 ‖= O(h m ).
Доказательство. Рассмотрим разность
p i q i −
k∑
β j p i−j+1
j=1
k∑
= p i q i + p i β j q i−j+1 − p i
j=1
= p i (q i −
k∑
β j q i−j+1 =
j=1
k∑
β j q i−j+1 −
j=1
k∑
β j q i−j+1 ) +
j=1
k∑
β j p i−j+1
j=1
k∑
β j q i−j+1 (p i −
j=1
k∑
β j q i−j+1 =
j=1
k∑
β j p i−j+1 ). (7)
В силу ограниченность функций p(t) и q(t) имеем ‖ p i ‖≤ C 1 и ‖ ∑ k
j=1 β jq i−j+1 ‖≤ C 2 .
Из условия теоремы ‖ q i − ∑ k
j=1 β jq i−j+1 ‖≤ C 3 h m и ‖ p i − ∑ k
j=1 β jp i−j+1 ‖≤ C 4 h m .
C 1 , C 2 , C 3 , C 4 - некоторые константы.
Перейдем в равенстве (7) к нормам. Получим ‖ p i q i − ∑ k
j=1 β ∑ k
jp i−j+1 j=1 β jq i−j+1 ‖≤
C 1 C 3 h m + C 2 C 4 h m = O(h m ). Что и требовалось доказать.
j=1
114