Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

2. Ниже рассматриваются нелинейные неравенства вида
ψ(t) c +
N∑
m=1
( ∫t
L i
0
ψ(s)ds) i
+
N∑
i=2
( ∫t
iM i ψ(t)
0
ψ(s)ds) i−1
, t ∈ [0, T ], (12)
ψ(t), c, M i > 0; L i 0,
играющие важную роль при исследовании полилинейных (N-линейных) уравнений Вольтерра
I рода
N∑
∫ t
m=1
0
∫ t
· · ·
0
K m (t, s 1 , . . . , s m )
m∏
x(s i )ds i = y(t), t ∈ [0, T ]. (13)
i=1
При N = 1 (13) — линейное уравнение Вольтерра I рода, а (12) переходит в неравенство
типа (1).
„Линейная“ техника получения неулучшаемых оценок, изложенная в пункте 1, теперь
непригодна, так как и сам переход от неравенства к соответствующему уравнению нуждается
в дополнительном обосновании, и, кроме того, операторы в (12) не являются перестановочными.
Пусть
так что
ζ(t) =
∫ t
0
ψ(s)ds,
ψ(t) = ˙ζ(t) (14)
и интегральное неравенство (12) переходит в следующее дифференциальное неравенство:
˙ζ(t)
∑
c + N L i ζ i (t)
i=1
∑
1 − N iM i ζ i−1 (t)
i=2
≡ G(ζ(t)), ζ(0) = 0, t ∈ [0, T ]. (15)
Заменой в (15) знака на = введем (мажорантную) задачу Коши
˙θ(t) = G(θ(t)), θ(0) = 0, t ∈ [0, T ]. (16)
Лемма. При достаточно малом T > 0 справедливо неравенство
ψ(t) ˙θ ∗ (t), t ∈ [0, T ], (17)
где θ ∗ (t) — единственное решение задачи Коши (16).
Доказательство. Отображение G(θ(t)) : C [0,T ] → C [0,T ] локально липшицнепрерывно,
поэтому при достаточно малом T > 0 решение (16) существует и единственно.
Согласно [9] (теорема 4.1 главы 3),
ζ(t) θ ∗ (t), t ∈ [0, T ],
17