Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

Рассмотрим метод построения дискретной энергии изгибания и функционалов кривизны,
которые были бы применимы для нерегулярных поверхностей, включающих в
себя многогранные поверхности.
2. Принцип двойственности в задаче приближения поверхности многогранниками
Рассмотрим двумерный параболоид
P = {x 3 = u(x 1 , x 2 ), u(x 1 , x 2 ) = 1 2 (h 11x 2 1 + 2h 12 x 1 x 2 + h 22 x 2 2)}
Будем иcпользовать верхний индекс l для обозначения векторов из R 3 , а величины без
индекса l - для двумерных векторов, являющихся проекциями векторов из R 3 на плоскость
x 3 = 0. Функцию u удобно записывать в виде u(p) = 1 2 pT Hp, где матрица H - это матрица
оператора формы (тензор кривизны) параболоида P в начале координат.
а) б)
Рассмотрим фрагмент вы-
пуклой многогранной поверхности
P h , вписанной в эллиптический
параболоид. Грани
l
f o l F
i
i
k
этого многогранника, инци-
p l
j
p p
q
i
j
k
p
pj+1
l
j+1
Рис. 2: а) Многогранник, вписанный в эллиптический параболоид,
вершина и двойственная грань, б) двойственная грань и
нормальное изображение вершины.
Q i
p
i
q
k
дентные точке p l i = 0, показаны
на рис. 2 а). При этом
плоскость x 3 = 0 является
касательной в нуле. Касательные
плоскости, проходящие
через вершины p l j ребер
многогранника, инцидентных
p l i, вырезают на плоскости
x 3 = 0 выпуклый многоугольник
Q i , являющийся гранью
двойственного (полярного) многогранника Ph ⋆ , описанного вокруг того же параболоида.
Обозначим через V(p l i) совокупность номеров вершин P h , принадлежащим ребрам, инцидентным
p l i, а через V(g) совокупность номеров вершин грани g.
Для вершины p l i можно построить нормальное изображение, т.е. выпуклый многоугольник
F i на плоскости x 3 = 1, вершины которого расположены в точках пересечения плоскости
x 3 = 1 с прямыми, проходящими через точку p l i и ортогональными граням, инцидентным
p l i. Многоугольники Q i и F i показаны на рис. 2 б).
Рассмотрим вершину qk l многоугольника Q i. Вектор qk l можно найти как решение линейной
системы
n l (p l i) T (qk l − pl i) = 0
n l (p l j) T (qk l − (4)
pl j) = 0, j ∈ V(G k ), i ≠ j
где n l - векторы нормалей к параболоиду. Т.е. p l j - это вершины некоторой грани G k ∈
star(p l i), инцидентной вершине p l i.
Линейная система (4) является невырожденной. В качестве вектора n l можно взять
градиент функции x 3 − u(x 1 , x 2 ) = 0, т.е.
(
n l (p l −Hpj
j) =
1
) ( 0
, n l (p l i) =
1
60
)
.