Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

Отметим также и скрытые формы проявления жесткости. Например, большой класс
гладких оптимизационных конечномерных задач с трудом поддается решению традиционными
методами первого и второго порядка из-за овражного рельефа поверхностей уровня.
Исследование этого явления [2] показало, что трудности связаны с жесткостью системы
ОДУ, описывающих траекторию наискорейшего спуска.
Кроме того, жесткими могут оказаться задачи в частных производных, если их решение
сводится к системе ОДУ.
В работе [1] для ослабления трудностей, характерных для жестких систем, предлагается
λ-преобразование. Здесь задача Коши рассматривается как задача продолжения
решений по параметру.
Известно, что для численного решения жесткой системы явные методы с локально постоянным
по времени шагом не подходят, так как их устойчивая реализация накладывает
непомерные требования на шаг интегрирования h
h ‖A‖ < 1.
(∗)
Здесь A — матрица Якоби правой части (∗), а ‖A‖ — принятая норма матрицы . Для
жестких систем норма матрицы велика, и ограничение (∗) снижает эффективность явных
схем и приводит к росту ошибок округления.
Лебедев В.И. [3] рассматривал явные схемы с переменными шагами по времени и исследовал
их эффективность. Применение многочленов Чебышева и оптимизация параметров
явных схем позволили устойчиво интегрировать нестационарные задачи с гораздо большим
средним временным шагом по сравнению со схемами с постоянным шагом
В работе [4] на основе методов введения управляющих параметров предложены экономичные
явные схемы численного решения ОДУ. Указанные методы также используются
в качестве первого приближения в неявных схемах. При этом появляются возможности
интегрирования с большим постоянным шагом за счет выбора весовых коэффициентов в
различных явных схемах.
В последние годы западными учеными развивалась специальная B-теория численных
методов для жестких систем. Класс изучаемых систем выделяется важной количественной
характеристикой правой части, называемой односторонней константой Липшица l [5].
Величина l считается имеющей порядок O(1); в то же время классическая константа Липшица
L или, что почти то же самое, ‖A‖ может быть сколь угодно большой величиной, т. е.
L ≫ l. Цель B-теории — получение таких оценок точности численного решения, которые
не зависят от больших констант и выражены в терминах только односторонней константы
Липшица l. Эти оценки должны зависеть и от гладкости искомого решения.
Необходимо обратить внимание на то, что в B-теории используется погрешность согласования
вместо погрешности аппроксимации в классической теории. Эту величину оценить
более трудно. Кроме того, установление B-аппроксимации нетривиально, и некоторые схемы,
аппроксимирующие уравнение в обычном смысле, В-аппроксимацией не обладают.
Таким образом, применение B-теории для конкретной задачи требует дополнительной
теоретической работы по установлению аппроксимации и согласования. После этого выбираются
неявные схемы с соответствующими коэффициентами. К этой работе добавляются
трудности, связанные с применением неявных схем для случая плохо обусловленной матрицы
Якоби.
Асимптотическая теория жестких систем предложена Р.П. Федоренко [6].
Уравнения, содержащие малый параметр при старшей производной, называют сингулярно
возмущенными. Они образуют класс жестких систем, на котором удобно про-
78