Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

водить теоретические исследования с целью определения эффективности численных методов,
предназначенных для интегрирования жестких систем. Это возможно благодаря
достижениям в асимптотической теории, теории разностных схем и простоте анализа качественного
поведения траектории рассматриваемой задачи.
Одним из направлений современного математического анализа является изучение малых
возмущений различных задач. При этом особое внимание уделяется сингулярным возмущениям,
при которых свойства допредельных задач качественно отличаются от свойств
предельных [7].
Отметим, что малое возмущение некоторой задачи чаще всего обусловлено одной из
следующих причин: погрешность исходных данных или малость тех или иных компонент
в математической модели. Тип малого возмущения определяет и основные цели исследования
и роль предельной задачи.
Для возмущений первого типа предельная задача самоценна, а ее возмущение — неизбежное
зло, с которым надо бороться различными способами, возможно и далекими от
методов, характерных для исходной задачи. Здесь главное — построить приближение исходной
задачи в том или ином смысле. При этом решение вспомогательной задачи может
качественно отличаться от искомого, и в любом случае нет необходимости находить приближенные
решения точнее, чем тот уровень погрешности, который гарантируется теорией.
Сингулярно возмущенные задачи такого рода характерны для теории некорректно
поставленных задач.
При возмущениях второго типа наоборот, “возмущенная” задача является исходной,
требующей решения, а ее предельная — лишь удобный способ для нахождения приближенного
решения исходной задачи. Поэтому здесь вопросы сходимости решений возмущенной
задачи к решениям предельной лишь первый этап, этап определения “нулевого” члена
приближения, за которым следует задача нахождения следующих поправок, по возможности
дающих приближение исходной задачи с наперед заданной точностью. Сингулярно
возмущенные задачи такого типа характерны для асимптотической теории.
Теория оптимального управления, основы которой были заложены в работах Л.С.
Понтрягина, Н.Н. Красовского, В.Г. Болтянского, А.А. Милютина, А.Я. Дубовицкого, Р.В.
Гамкрелидзе, Р. Беллмана, и теория некорректных задач, у истоков которой стояли А.Н.
Тихонов, В.К. Иванов, М.М. Лаврентьев. Р. Латтес и Ж.-Л. Лионе, появившись почти
одновременно, развивались во взаимном влиянии и проникновении методов и понятий
обеих теорий. Например, основные регуляризаторы, такие как регуляризатор А.Н. Тихонова,
квазирешения В.К. Иванова, метод невязки, являются абстрактными задачами
оптимального управления. С другой стороны многие задачи оптимального управления
неустойчивы относительно возмущений данных и тем самым являются некорректными в
смысле Адамара. Особенно это относится к задачам оптимального управления системами
с распределенными параметрами. Поэтому работы, посвященные некорректным задачам
теории управления, принадлежат представителям обеих теорий.
Асимптотические методы анализа, появившиеся значительно раньше, в развитие которых
существенный вклад внесли работы Н.Н. Боголюбова и Ю.А. Митропольского,
А.Н. Тихонова и А.Б. Васильевой, Л.С. Понтрягина, Е.Ф. Мищенко и Н.Х. Розова, О.А.
Олейник, М.И. Вишика и Л.А. Люстерника, Е.А.Гребеникова, О.А. Ладыженской, В.П.
Маслова и др., с созданием теории оптимального управления получили новый импульс к
дальнейшему развитию и новую сферу приложения.
Одним из основных способов применения метода малого параметра к задачам управления
является построение асимптотических разложений решений систем краевой задачи
79