Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

Заметим, что (6)–(13) – смешанная система неклассических уравнений, в которой (6)
– билинейное уравнение Вольтерра I рода, (7) – билинейное уравнение Вольтерра II рода
относительно переменной x(t) и I рода относительно переменной y(t).
Вопросы существования решения систем уравнений Вольтерра I рода с двумя переменными
пределами интегрирования рассмотрены в монографии А.С. Апарцина [1].
Система (6)–(13) малоизучена.
2. О свойствах двухсекторной модели развивающейся экономической системы
Рассмотрим несколько примеров.
1. Пусть в исходной модели (6)–(13) y(t) = 1. Это означает, что весь произведенный
продукт направляется на развитие самой системы, внешний продукт равен нулю. В этом
случае модель описывается лишь уравнением второго рода. Зададим длину предыстории
равной 1 2 . x(t) =
∫ t
x(s)ds, t ∈ [ 1 2 , 5 ], (14)
2
t− 1 2
x 0 (t) = t, t ∈ [0, 1 ). (15)
2
Решение уравнения с переменными пределами (14) при условии (15) происходит поэтапно.
Отрезок [t 0 , T ] разбивается на части последовательностью точек
{
max z, если a(T ) > z k−1 , z 0 = t 0 ,
z k = a(z)=z k−1
z N = T, если a(t) ≤ z N−1 .
В нашем случае
z 0 = 1 2 , z 1 = 1, z 2 = 3 2 , z 3 = 2, z 4 = 5 2 .
Используя аналитический вид решения на предыстории x 0 (t), решаем классическое уравнение
Вольтерра II рода
x(t) =
∫ t 0
a(t)
x 0 (s)ds +
∫ t
t 0
x(s)ds
на отрезке [z 0 , z 1 ). На следующем этапе, для получения решения на отрезке [z 1 , z 2 ), в
качестве x 0 (t) используется полученное x(t) на [z 0 , z 1 ). Решение (14)–(15) описывается
формулой
⎧
t, 0 t < 1,
2
− ⎪⎨
7 8 et−1/2 + t + 1, 1
t < 1,
2 2
− 7
¯x(t) =
8 et−1/2 + t + 1 + e t−1 (− 11 + 7t), 1 t < 3,
8 8 2
− 7 8 et−1/2 + t + 3 + 2 et−1 (− 11 + 7t) + 8 8 et−3/2 (− 7 16 t2 + 29t
− 143),
3
t < 2,
16 64 2
− ⎪⎩
7 8 et−1/2 + t + 2 + e t−1 (− 11 + 7t) + 8 8 et−3/2 (− 7 16 t2 + 29t
− 143)+
16 64
+e t−2 ( 7
48 t3 − 9 8 t2 + 13t − 11), 2 t < 5.
4 3 2
Из рисунка 1 видно, что в точке стыковки предыстории с основным отрезком z 0 решение
претерпевает разрыв, на [z 0 , z 2 ) решение убывает и на следующих отрезках стремится
89