Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

Вариационная постановка задачи. Будем предполагать, что контур Γ 2 является вертикальной
прямой. Требуется найти u ∈ H(rot ϕ , Ω 2 ) такое, что для ∀v ∈ H(rot ϕ , Ω 2 )
∫ [
r ∂ ∂z (u − u0 ) ∂v
Ω 1
∫ [
+ r ∂u ∂v
∂z ∂z + 1 r
Ω 2 \Ω 1
∂z + 1 r
∂
∂r (r(u − u0 )) ∂(rv)
∂r
]
∂(ru) ∂(rv)
− k 2 ruv
∂r ∂r
∫ [
1 ∂(ru)
+
2 ∂r
Γ 2
k 2 ruG + ∂(ru) ∂G
∂r ∂r − r ∂u
∂z
] ∫
− k 2 r(u − u 0 )v drdz −
∫ [ ∂(ru 0 )
drdz = − n r + r ∂u0
∂r ∂z n z
Γ 1
∂G
∂z
∂(ru)
∂r vdz +
Γ 2 ]
vdl,
(3)
]
dz = 0, (4)
где n r , n z – компоненты вектора n 1 в данной системе координат. Фундаментальное решение
G(M, M 0 ) данной задачи в пространстве R + ×R с электромагнитными параметрами
вмещающей среды R + ×R \ Ω 2 представляется потенциалом кольцевого пояса вертикально
ориентированных магнитных диполей [2]. При совпадении точек M и M 0 ядро G(M, M 0 )
имеет логарифмическую, а ядро ∂G(M,M 0)
- сильную особенности, поэтому интегрирование
∂z
последнего слагаемого следует понимать в смысле главного значения Коши.
3. Дискретизация
Рассмотрим решение задачи (3)-(4) в прямоугольнике D = {(r, z) | 0