Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

f 13 = d 4
(
d 2
√
b14 2 2 3 3 4 1
− d 5
√
b14 3 3 4 1 5 2
) 2
+ d2
(d 4
√
b14 2 1 3 3 4 2
− d 5
√
b14 2 1 3 3 5 2
) 2+
d 5
(d 2
√
b14 2 2 3 3 5 1
− d 4
√
b14 3 3 4 2 5 1
) 2
+ µ31 d 2 d 4 d 5 ;
f 14 = d 3
( √b14
2 2 3 1 4 3
d 2 − √ b 14 3 1 4 3 5 2
d 5
) 2
+ d2
( √b14
2 1 3 2 4 3
d 3 − √ b 14 2 1 4 3 5 2
d 5
) 2+
d 5
( √b14
2 2 4 3 5 1
d 2 − √ b 14 3 2 4 3 5 1
d 3
) 2
+ µ41 d 2 d 3 d 5 ;
f 15 = d 3
( √b14
2 2 3 1 5 3
d 2 − √ b 14 3 1 4 2 5 3
d 4
) 2
+ d2
( √b14
2 1 3 2 5 3
d 3 − √ b 14 2 1 4 2 5 3
d 4
) 2+
d 4
( √b14
2 2 4 1 5 3
d 2 − √ b 14 3 2 4 1 5 3
d 3
) 2
+ µ51 d 2 d 3 d 4 .
(12)
(13)
(14)
Другие значения f j и f jk могут быть получены из (10)-(14) соответствующей перестановкой
индексов и субиндексов.Значения µ ij приведены в приложении (A.9). В каждом коэффициенте
при d 4 i в общем случае выбором d j > 0 можно обратить в ноль одновременно все
три скобки, поэтому требования µ ij 0 являются необходимыми для положительности Γ 4
при любых d j > 0. Таких условий 20:
µ ij = ( − A 2k,m,n a j,j
)
δij 0, ( k < m < n; i ≠ j ≠ k ≠ m ≠ n; i, j, k, m, n = 1, 5; δ ij = δ ji
)
,
но они сводятся к десяти неравенствам вида:
δ 12 = (√ −A 45 A 33,4 + √ −A 44 A 33,5 + √ −A 43 A 34,5
) 2
+ A23,4,5 ∆ 5 0,
δ 13 = (√ −A 45 A 32,4 + √ −A 44 A 32,5 + √ −A 42 A 34,5
) 2
+ A22,4,5 ∆ 5 0,
δ 14 = (√ −A 45 A 32,3 + √ −A 43 A 32,5 + √ −A 42 A 33,5
) 2
+ A22,3,5 ∆ 5 0,
δ 15 = (√ −A 44 A 32,3 + √ −A 43 A 32,4 + √ −A 42 A 33,4
) 2
+ A22,3,4 ∆ 5 0,
δ 23 = (√ −A 45 A 31,4 + √ −A 44 A 31,5 + √ ) 2
−A 41 A 34,5 + A21,4,5 ∆ 5 0,
δ 24 = (√ −A 45 A 31,3 + √ −A 43 A 31,5 + √ ) 2
−A 41 A 33,5 + A21,3,5 ∆ 5 0,
δ 25 = (√ −A 44 A 31,3 + √ −A 43 A 31,4 + √ ) 2
−A 41 A 33,4 + A21,3,4 ∆ 5 0,
δ 34 = (√ −A 45 A 31,2 + √ −A 42 A 31,5 + √ ) 2
−A 41 A 32,5 + A21,2,5 ∆ 5 0,
δ 35 = (√ −A 44 A 31,2 + √ −A 42 A 31,4 + √ ) 2
−A 41 A 32,4 + A21,2,4 ∆ 5 0,
δ 45 = (√ −A 43 A 31,2 + √ −A 42 A 31,3 + √ ) 2
−A 41 A 32,3 + A21,2,3 ∆ 5 0.
(15)
Если посмотреть на Γ 4 (8) как на полином по любому d i , у которого коэффициенты представляют
собой полиномы по оставшимся d j , (i ≠ j = 1, 5), то необходимо обеспечить
также неотрицательность коэффициентов при нулевой степени d j в коэффициенте при
d 4 i и в слагаемом, не содержащем переменной d i . Таким способом получим как необходимые
условия положительности Γ 4 в положительном ортанте еще две группы неравенств,
которые в терминах главных миноров имеют вид:
β ij 0, (i, j = 1, 5, β ij = β ji ) (16)
γ ij = (√ −A 3n,i A 2k,m,i + √ −A 3k,i A 2m,n,i + √ −A 3m,i A 2k,n,i
) 2
+ A4i a j,j 0,
(
i ≠ j ≠ k ≠ m ≠ n; i, j, k, m, n = 1, 5
)
.
(17)
36