Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

K(t) = A +
∫ t
0
k(s)ds.
Теорема. Если операторы B, A, k(t) удовлетворяют условию (С), оператор B имеет
полный обобщенный жорданов набор относительно оператор-функции K(t), то интегродифференциальный
оператор (Bδ ′ (t)−Aδ(t)−k(t)θ(t)) имеет на классе обобщенных функций
с ограниченным слева носителем фундаментальную оператор-функцию вида
E(t) = Γe AΓt θ(t) ∗
∗
{
где N 1 (t) – резольвента ядра
(I − Q)δ(t) −
(
)
Iδ(t) + R 1 (t)θ(t)
i=1
j=1
(
)
∗ Iδ(t) + N 1 (t)θ(t) ∗
}
p n∑ ∑ i
〈·, φ (j)
i 〉z i δ (pi+1−j) (t) ,
n∑
(−Q i M (pi) (t))θ(t),
i=1
здесь {φ (j)
i } полный обобщенный жорданов набор оператора B ∗ относительно
K ∗ (t) = A ∗ +
∫ t
0
k ∗ (s)ds,
{z i } – биортогональная система элементов к {ψ i } ∈ N(B ∗ ), Q i = 〈·, φ i 〉z i , i = 1, n и
Q = ∑ n
i=1 Q i проекторы.
С помощью приведенной теоремы можно исследовать на разрешимость в классе распределений
задачу (1)–(2). Единственным решением этой задачи в классе K +(E ′ 1 ) является
функция
(
)
ũ(t) = E(t) ∗ Bu 0 δ(t) + f(t)θ(t) .
Условия, при которых сингулярная составляющая решения ũ(t) обращается в нуль,
а остающаяся при этом регулярная составляющая удовлетворяет начальному условию
(2) и являются условиями разрешимости задачи (1)–(2) в классическом смысле,
при этом обобщенное решение ũ(t) совпадает с классическим. Таком образом, знание
фундаментальной оператор-функции E(t) для интегро-дифференциального оператора
(Bδ ′ (t) − Aδ(t) − k(t)θ(t)) позволяет решать несколько задач: во-первых, выделить класс
обобщенных функций в которых решение существует и единственно, во-вторых, выписать
в замкнутом виде формулы для восстановления обобщенного решения и, в-третьих,
исследовать связь между построенным обобщенным решением и классическим (если
последнее существует). Проиллюстрируем все вышеизложенное на следующих примерах.
Пример 1. (Задачи теории вискоэластики.)
Рассмотрим начально-краевую задачу для интегро-дифференциального уравнения вида
∫ t
(γu t − ∆u t ) − ∆u − g(t − τ)∆udτ = f(t, ¯x), t > 0, ¯x ∈ Ω,
0
173