Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

АЛГОРИТМ НА НЕОДНОРОДНЫХ СХЕМАХ ВТОРОГО ПОРЯДКА ДЛЯ
РЕШЕНИЯ ЖЕСТКИХ ЗАДАЧ С НЕБОЛЬШОЙ ТОЧНОСТЬЮ 1
Е.А. Новиков
Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск
e-mail: novikov@icm.krasn.ru
Аннотация. Построены явная двухстадийная схема типа Рунге-Кутты и L-устойчивый (2,1)-
метод второго порядка точности. Разработан алгоритм интегрирования переменного порядка
и шага, в котором выбор наиболее эффективной численной схемы осуществляется на каждом
шаге с применением неравенства для контроля устойчивости. Приведены результаты расчетов,
подтверждающие эффективность построенного алгоритма.
Ключевые слова:
L-устойчивость.
жесткие системы, методы Рунге-Кутта, (m,k)-методы, A-устойчивость,
Введение
Во многих важных приложениях возникает проблема численного решения жестких задач.
Основные тенденции при построении численных методов связаны с расширением их
возможностей для решения задач все более высокой размерности. Математические постановки
практических задач постоянно уточняются, что приводит как к росту размерности,
так и к усложнению правой части системы дифференциальных уравнений. В некоторых
случаях расчеты требуется проводить с так называемой инженерной точностью - порядка
1%. Это связано с тем, что измерение констант, входящих в правую часть системы
дифференциальных уравнений, часто проводится достаточно грубо. Иногда такая точность
расчетов является удовлетворительной с точки зрения поставленной цели. Порядок
аппроксимации численной схемы следует сочетать с требуемой точностью расчетов (см.,
например, [1]). Современные методы решения жестких задач, как правило, используют
обращение матрицы Якоби системы дифференциальных уравнений. При большой размерности
системы эффективность численных методов фактически полностью определяется
временем декомпозиции этой матрицы. Для повышения эффективности расчетов в ряде
алгоритмов используется замораживание матрицы Якоби, то есть применение одной матрицы
на нескольких шагах интегрирования [2-3]. Некоторым аналогом замораживания
матрицы Якоби является применение в расчетах алгоритмов интегрирования на основе
явных и L-устойчивых методов с автоматическим выбором численной схемы. В этом случае
эффективность алгоритма может быть повышена за счет расчета переходного участка,
соответствующего максимальному собственному числу матрицы Якоби, явным методом. В
качестве критерия выбора эффективной численной формулы естественно применять неравенство
для контроля устойчивости [4]. Следует отметить, что применение таких комбинированных
алгоритмов полностью не снимает проблему замораживания матрицы Якоби,
потому что явным методом можно просчитать, вообще говоря, только погранслойное решение,
соответствующее максимальному собственному числу.
Здесь на основе явных методов типа Рунге-Кутты и L-устойчивого метода второго
1 Работа поддержана грантами РФФИ №08-01-00621, №06-08-00920 и Президента НШ-3431.2008.9
142