Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

Количественные и качественные соотношения процессов, происходящих при выстреле,
устанавливаются на основании общих законов механики, термо- и газодинамики, теплообмена,
а также теории горения порохов. Движение снаряда в основном периоде выстрела
будем описывать следующими уравнениями:
1. Уравнение движения центра массы снаряда.
2. Уравнение, связывающее скорость снаряда и пройденный им путь.
3. Определение скорости горения порохового заряда.
4. Уравнением Резаля или уравнением эквивалентности, реализующее закон сохранения
энергии.
5. Уравнение газообразования, выражающее зависимость между переменными x 3 и x 5 .
Все перечисленные уравнения могут быть записаны системой вида (1), а именно:
Aẋ(t) = f(x(t)), t ∈ [t 0 , t k ], (3)
⎛
⎞ ⎛ ⎞
1 0 0 0 0
x 1 (t)
0 1 0 0 0
где A =
⎜ 0 0 1 0 0
⎟
⎝ 0 0 0 0 0 ⎠ , x(t) = x 2 (t)
⎜ x 3 (t)
⎟
⎝ x 4 (t) ⎠ ,
0 0 0 0 0
x 5 (t)
⎛
Начальные и граничные условия:
s/(ϕm)x 4 (t)
x 1 (t)
u 1 /e 1 x 4 (t)
f(x(t)) =
⎜
⎝ x 4 (t) −
x 5 (t) − χx 3 (t)(1 + λx 3 (t))
fωx 5 (t)−(k−1)ϕmx 2 1 /2
W 0 −ω/ρ+(ω/ρ−αω)x 5 (t)+sx 2 (t)
⎞
.
⎟
⎠
t 0 = 0, x 5 (t k ) = 1, f(x(t 0 )) = (0, 0, z 0 , 3 · 10 7 , ψ 0 ) T . (4)
Значения ψ 0 и z 0 вычисляются из четвертого и пятого уравнений системы при подстановке
других начальных значений.
Очевидно, что det A(t) = 0; rank A = 3 = const. Также нетрудно убедиться, что
∣ ∂f 4 (x(t)) ∂f 4 (x(t))
∣
∂x 4
∂f 5 (x(t))
∂x 4
∂x 5
∂f 5 (x(t))
∂x 5
∣ ∣∣∣∣
≠ 0 при t 0 = 0, x(t 0 ).
Поэтому задачу (3)-(4) можно назвать дифференциально-алгебраическим уравнением
индекса один. Для таких ДАУ доказано [5], что они имеют единственное непрерывно
дифференцируемое решение.
Проведем редукцию ДАУ (3) к виду (2). В силу неоднозначности определения полуобратной
матрицы A − , можно выбрать такую A − , чтобы облегчить вычисление B(x(t)) и
113