Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

Теорема 2. Пусть для задачи (1),(2) выполнены условия теоремы 1. Тогда метод (6)
сходится и имеет место оценка
‖x(t i ) − x i ‖ = O(h).
Из-за недостатка места доказательство теоремы не приводится.
Приведем ряд модельных примеров, которые были решены при тестировании программ,
реализующих описанные выше численные методы. Далее в таблицах используются
следующие обозначения:
err = max ‖x(t i ) − x i ‖, i = 0, 1, . . . N;
i
N – число узлов сетки;
h – шаг;
Пример 1.
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 0 0 1 0 0
⎝1 0 0⎠ ẋ(t) + ⎝1 1 0⎠ +
1 0 0 1 0 0
∫ t
0
1 0 0
⎝ 1 1 0⎠ x(s)ds =
t + 1 t 1
⎛
⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞
1 + t + t 2 /2
t
0
= ⎝ 1 + t + 3 2 t2 + t 3 /2 ⎠ , x(t) = ⎝t 2 ⎠ , t ∈ [0, 1], x(0) = ⎝0⎠ .
1 + t + t 2 /2 + 13
12 t3 + t 4 /4
t 3 0
Таблица 1.
N 10 100 200 400 800
err 0.35 0.033 0.016 0.008 0.004
Если условия теоремы 1 не выполнены, то метод (6) неустойчив.
Пример 2.
( ) ( ) ∫ t ( )
t 1 γ 0
t s
ẋ(t) + x(t) + x(s)ds =
0 0 t 1
0 0
( e
=
t (1 + γ + t) + 1 − t + t 3 /3
te t + t
( ( 1 e
t
t ∈ [0, 1], x(0) = , x(t) =
0)
t
Здесь индекс системы равен 2, но пучок λA(t) + µB(t) + K(t, t) простой структуры не
имеет. Численные расчеты показали, что при |γ| 1 метод (6) неустойчив. При |γ| > 1
метод (6) является сходящимся, несмотря на то, что условия теоремы 1 не выполнены.
Список литературы
[1] Булатов М.В. Об интегро-дифференциальных системах с вырожденной матрицей
перед производной // Дифференциальные уравнения. - 2002. - Т.38, № 5. - С. 692-697.
[2] Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром. - Новосибирск:
Наука. Сиб. изд. фирма РАН, 1996.
0
)
,
)
.
184