Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

Определение 2. [1] Совокупность всех обобщённых A 1 , A 0 -жордановых цепочек, отвечающих
элементам базиса пространства нулей оператора B называют обобщённым
A 1 , A 0 -жордановым набором. Оператор ∥〈
B имеет полный обобщённый A 1 , A 0 -жорданов
набор, если определитель матрицы ∥
A 1 ϕ (p i)
i
Введём в рассмотрение элементы z i = A 1 ϕ (p i)
i
〉∥
+ A 0 ϕ (p i−1) ∥∥i,j=1,n
i , ψ j отличен от нуля.
+ A 0 ϕ (p i−1)
i ∈ E 2 и γ j = A ∗ 1ψ (p j)
j +
A ∗ 0ψ (p j−1)
j ∈ E ∗ 1, i, j = 1, n, причем 〈z i , ψ j 〉 = δ ij , 〈ϕ i , γ j 〉 = δ ij .
Перепишем задачу Коши (1)-(2) в пространстве обобщенных функций [2]:
L 4 (δ(t)) ∗ ũ(t) ≡ ( Bδ (4) (t) − A 1 δ (2) (t) − A 0 δ(t) ) ∗ ũ(t) = h(t), (3)
h(t) = f(t)θ(t) + Bu 0 δ (3) (t) + Bu 1 δ (2) (t) + (Bu 2 − A 1 u 0 )δ (1) (t) + (Bu 3 − A 1 u 1 )δ(t).
Определение 3. Фундаментальной оператор-функцией ɛ(t) дифференциального оператора
L 4 (δ(t)) будем называть оператор-функцию, удовлетворяющую следующим соотношениям:
L 4 (δ(t)) ∗ ɛ(t) ∗ ŷ(t) = ŷ(t), ∀ŷ(t) ∈ K ′ +(E 2 ),
ɛ(t) ∗ L 4 (δ(t)) ∗ ˇy(t) = ˇy(t), ∀ˇy(t) ∈ K ′ +(E 1 ),
здесь K +(E ′ i ), — пространство обобщённых функций с ограниченным слева носителем [2].
Если существует фундаментальная оператор-функция ɛ(t) оператора L 4 (δ(t)), то единственное
решение обобщённой задачи Коши (3) в классе K +(E ′ 1 ) будет определяться в виде
свёртки ɛ(t) с правой частью уравнения (3).
Теорема 1. Пусть выполнены условия:
I) оператор B имеет полный обобщённый A 1 , A 0 -жорданов набор;
II) операторное квадратное уравнение Λ 2 − A 1 ΓΛ − A 0 Γ = 0 имеет два различных
коммутирующих решения Λ 1 , Λ 0 ∈ L(E 2 ), таких, что оператор G = (Λ 1 − Λ 0 ) −1 существует
и ограничен;
тогда дифференциальный оператор L 4 (δ(t)) имеет фундаментальную оператор-функцию
вида:
ɛ(t) = Γδ(t) ∗
(
sinh
√
Λ1 t
√
Λ1
− sinh
√
Λ0 t
√
Λ0
)
Gθ(t) ∗ N(t),
N(t) = (I 2 δ(t) + R(t)θ(t)) ∗
[
(I 2 − Q) δ(t) −
]
p n∑ ∑ i 〈 〉
• , ψ (j)
i z i δ (2pi−2j+1) (t) ,
i=1
j=1
где Γ — оператор Шмидта [1], cosh √ Λt = +∞ ∑
R(t) — резольвента ядра K(t) = − n ∑
i=1
k=0
t 2k Λ k
2k!
, sinh √ Λt √
Λ
= +∞ ∑
k=0
Q i
(
Λ p i+2
1 sinh √ Λ 1 t
√ Λ1
− Λ p i+2
0 sinh √ Λ 0 t
t 2k+1 Λ k
(2k+1)! , Λ ∈ L(E 2),
√ Λ0
)
G.
Замечание 2. Будем считать, что, если оператор B непрерывно обратим, то
обратный к нему совпадает с оператором Γ и для него автоматически выполняется
условие I), в силу тривиальности ядра оператора B. Заметим также, что в этом
случае обобщенное решение из класса K +(E ′ 1 ) для задачи (3) будет совпадать с классическим
решением задачи Коши (1)-(2).
119