Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

на плоскость x 3 = 0 показаны на рис. 4 б). В случае эллиптического параболоида все
двойственные грани являются выпуклыми многоугольниками, в то время как в случае
гиперболического параболоида все двойственные грани Q i являются четырехугольниками
с вогнутыми сторонами, поворот которых со стороны Q i является неположительным.
В общем случае уже нельзя утверждать, что многоугольники Q i и F i аффинно эквивалентны.
Не являются аффинно эквивалентными и многоугольники G k и B k . Построим
кусочно-аффинные гомеоморфизмы φ ⋆ i : Q i → F i и φ k : G k → B k . Без ограничения общности
можно считать, что φ ⋆ i и φ k - двумерные отображения. Если все вершины многогранников
являются регулярными, то их можно триангулировать, просто соединяя их вершиной
с точкой, относительно которой они являются звездными. В случае слабой регулярности
нужно использовать более общие триангуляции. Обозначим через T Q
i триангуляцию многоугольника
Q i , а через Tk
G - триангуляцию грани G k . Образами этих триангуляций при
отображениях φ ⋆ i и φ k являются триангуляции T Q
i и Tk B . Количество треугольников можно
уменьшить, если все грани G k являются треугольниками. Тогда отображение φ i : G k → B k
можно просто считать аффинным.
Обозначим через −A ⋆ im матрицу якоби аффинного отображения треугольника Tim ⋆ ∈
T Q
i на m-й треугольник Ti
F , т.е.
A ⋆ im = −∇φ ⋆ i | T ⋆
im
(12)
Через −A km обозначим матрицу якоби аффинного отображения треугольника T km ∈ Tk
G
на m-й треугольник триангуляции Ti
B , т.е.
A km = −∇φ k | Tkm (13)
Очевидно, что если все вершины многогранных поверхностей P h и Ph ⋆ являются регулярными,
то при стремлении диаметра граней P h к нулю матрицы A ⋆ im, A km сходятся к
точному значению тензора кривизны A, т.е.
A ⋆ im → A(p l i),
A km → A(ψ ⋆−1 (q l k))
где ψ ⋆ - гомеоморфизм, отображающий M на Ph ⋆ вдоль нормалей к M.
Заметим, что матрицы A ⋆ im и A km в общем случае не являются симметричными. Поэтому
в качестве главных кривизн нужно использовать сингулярные значения этих матриц,
а для приближенного построения главных направлений нужно использовать сингулярное
разложение A ⋆ im и A km .
На практике точные значения нормалей к поверхности неизвестны. Их можно найти
приближенно, требуя, чтобы дискретная кривизна поверхности P h была близка к дискретной
кривизне двойственной поверхности Ph ⋆ . Для того, чтобы сравнение кривизн разных
поверхностей стало возможным, нужно построить кусочно-линейный гомеоморфизм
ψ h : Ph ⋆ → P h. После этого меру близости кривизн можно определить следующим образом
δ(p) = ||∇φ h (ψ h (p)) − ∇φ ⋆ h(p)||,
где p - точка, лежащая на Ph ⋆ , а функция δ(p) является кусочно постоянной. Здесь || · ||
-фробениусова норма матрицы.
Теорема 5. Пусть замкнутая многогранная поверхность P h вписана в регулярную замкнутую
поверхность M и является нормальным графиком над M, реализуемым гомеоморфизмом
φ. Предположим, что все грани P h - это треугольники, минимальный угол
64