Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

в которых равномерно ограничен снизу, а длины ребер l j удовлетворяют неравенству
Ch l j h, 0 < C < 1
Пусть замкнутая многогранная поверхность Ph ⋆ является нормальным графиком над M,
реализуемым гомеоморфизмом φ ⋆ , и вершины P h лежат на гранях Ph ⋆. Предположим,
что все вершины P h и Ph
⋆ Q
являются регулярными, а углы всех треугольников из Ti
и
равномерно ограничены снизу, и выполнено условие близости кривизн
T G
k
sup δ O(h)
т.е. для всех k и для каждого треугольника T km ∈ T G
k
выполнено
||A ij ∇ψ h − A ⋆ km|| O(h),
где T km = ψ h (T ij ), T ij ∈ T Q
i . Тогда φ и φ ⋆ сходятся к тождественному отображению, и
||A(p l i) − A ⋆ ij|| O(h),
||A(ψ ⋆−1 (q l k)) − A km || O(h)
Можно рассматривать меры близости дискретных кривизн в среднем, т.е. интегралы
вида
∫
δ 2 (P h , Ph) ⋆ = ||∇φ h (ψ(p)) − ∇φ ⋆ h(p)|| 2 dσ (14)
P h
и
∫
δ 1 (P h , Ph) ⋆ = (||∇φ h (ψ(p)) − ∇φ ⋆ h(p)|| + | det ∇φ h (ψ(p)) − det ∇φ ⋆ h(p)|) dσ, (15)
P h
где dσ обозначает дифференциал площади поверхности P h .
Если выполнены условия теоремы 5, но вместо условия близости кривизн в максимальной
норме справедливо условие слабой близости, т.е.
δ 2 (P h , P ⋆ h) → 0 при h → 0,
то можно предположить, что выполняется условие сходимости в среднем
∫
P h
∫
|||A(ψ −1 (p)) + ∇φ h (p)|| 2 dσ → 0, ||A(ψ ⋆−1 (p)) + ∇φ ⋆ h(p)| 2 dσ → 0 (16)
Если же выполнено условие
то можно ожидать сходимости интегралов
∫
P ⋆ h
δ 1 (P h , P ⋆ h) → 0 при h → 0,
P h
|(||A(ψ −1 (p)) + ∇φ h (p)|| + | det A(ψ −1 (p)) − det ∇φ h (p)|) dσ → 0 (17)
65