Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

6. Заключение
Исследования, результаты которых изложены выше, проведены для решения проблем,
возникших при изучении нелинейных ДАУ
G(t, y, ẏ) = Aẏ(t) + f(y(t), t) = 0, t ∈ [−1, 1], (35)
где A − (n × n)- матрица, f : R n × [−1, 1] → R n , y(t)-искомая вектор-функция, ˙ = d/dt.
Предполагается, что det A = 0 и входные данные обладают достаточной гладкостью. ДАУ
(35) ставится в соответствие i-продолженная система
{ G(t, y, ẏ), dG(t, y, ẏ)/dt, · · · , d i G(t, y, ẏ)/dt i } = G(t, y, ẏ, · · · , y (i+1) ) = 0, (36)
и допускается, что в окрестности некоторой точки из R (i+2)n+1 , удовлетворяющей уравнению
G(0, c 0 , c 1 , · · · , c i+1 ) = 0,
начиная с некоторого i = k, определено гладкое неособенное преобразование W системы
(36) со свойством
W ◦ G(t, y, ẏ, · · · , y (i+1) y) =
= { ẏ + f 1 (y, t), G 1 (t, y, ẏ, · · · , y (i+1) ), f 2 (y, t)} = 0 (37).
Из системы (37) можно выделить две подсистемы ẏ + f 1 (y, t) = 0, f 2 (y, t) = 0, определяющие
многообразие решений системы (32). Число k называется индексом ДАУ (35). В
частности, если выполнены условия
rankA = rank(A|f(c 0 , 0)), c 0 ∈ R n , rankA = deg det[λA + ∂f(c 0 , 0)/∂y], (38)
то k = 1: оператор E + (d/dt)[E − AA − ] сводит систему (35) к системе с невырожденной
матрицей в некоторой окрестности точки (c 0 , 0) при производной. Более того, на некотором
отрезке (−ɛ, ɛ), ɛ > 0 определено единственное решение системы (35) со свойством y(0) =
c 0 [13]. Но такой подход реализуем не всегда.
Например, пусть ДАУ (35) имеет вид
( 1 1
2 2
)
ẏ(t) +
(
y1 y 2
y 2 1 + y 2 2
)
= 0, y 1 (0) = y 2 (0) = 1. (39)
Здесь y 1 (t) = y 2 (t) = 2/(2 − t) и других решений нет. Легко проверить, что при любом i
гладкого преобразования W для продолженной системы (39) не существует. Рассмотрим
произведение
[( ) 1 0
+ (c
0 0 1 , grad)
=
( )] 0 0
◦
−2 1
[( ) ( )]
1 1 y1 y
ẏ + 2
2 2 y1 2 + y2
2 =
( ) ( )
1 1 y1 y
ẏ +
2
= 0. (40)
0 0 α(y 1 − y 2
где α = c 1,1 − c 1,2 . Новая система (40) удовлетворяет условиям (38), если α ≠ 0. Одной из
задач здесь является построение регулярной процедуры, сводящей систему (35) к системе,
для которой по i-продолженной системе (36) можно построить систему (37).
55