Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЖЕСТКИХ СИСТЕМ ЯВНЫМИ СХЕМА-
МИ 1
В.В. Дикусар, Д.В. Старинец
Вычислительный центр РАН, Москва
Московский физико-технический институт, г. Долгопрудный
e-mail: dikussar@ccas.ru, starrynets@mail.ru
Аннотация. Предлагаются методы и алгоритмы численного интегрирования жестких систем
на базе явных схем. Введение вспомогательного уравнения позволяет получить решение в
погранслое без использования асимптотических разложений. Приводятся примеры задач, для
которых строятся предложенные алгоритмы.
Ключевые слова:
схемы.
жесткие ОДУ, дифференциально-алгебраические системы, разностные
Введение
Опыт численного решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
(ОДУ) привел к выделению так называемых жестких уравнений, которые требуют
применения специальных методов.
Учет большого числа параметров при построении математических моделей для различных
процессов требует для полного описания явления на любом отрезке наблюдения
функций двух видов: убывающих быстро и медленно. Функции первого типа убывают
очень быстро, так что большую часть времени наблюдаются функции второго типа, которые
убывают очень медленно. Однако в любой момент времени сохраняется возможность
появления быстрозатухающего процесса, описываемого функциями первого типа.
Такое поведение системы называется жесткостью, а ОДУ, моделирующие процессы
такого типа, называются жесткими системами уравнений.
Следует отметить, что жесткость задачи — это свойство математической модели, и она
не связана с численными методами. Жесткость задачи является отражением того факта,
что в рассматриваемом объекте протекают разнотемповые процессы.
Участок быстрого начального изменения фазовой координаты называется пограничным
слоем.
Выделение жестких систем уравнений в отдельный класс вызвано трудностями их численного
интегрирования классическими явными методами. Оказалось, что малый шаг
интегрирования, используемый в пограничном слое, не может быть увеличен вне пограничного
слоя, хотя производные становятся существенно меньше.
Для устранения указанного ограничения были предложены различные численные методы
[1]-[12], однако и в настоящее время проблема численного решения жестких систем
остается актуальной. Это связано с увеличением классов решаемых задач, общностью их
постановки и разнообразием численных методов. Применение высокопроизводительных
ЭВМ позволило установить, что явление жесткости при моделировании динамических
систем скорее правило, чем исключение.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №06-01-00244).
77