Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

CHAPITRE 5. RECONSTRUCTION DE L’EFFORT TRANCHANT ET DU MOMENT
FLÉCHISSANT : CAS D’UNE PLAQUE EN FLEXION
η T (x, y) = f(x) + g(y) (5.29)
ou
η T (x, y) = f(x) × g(y) (5.30)
Malheureusement certaines équations du système ne permettent pas une approche aussi simple, et
mènent à des incohérences si l’on s’engage dans cette voie. Le lecteur trouvera la démonstration de
cette impossibilité de solution dans l’annexe E.
Fonction polynôme :
L’approche polynomiale a aussi été testée, et n’a donné aucun succès. Effectivement, si l’on considère
que les deux variables x et y ne sont pas issues de deux fonctions indépendantes (pour ne pas être
dans le cas du paragraphe précédent), la fonction η T comporte de très nombreux termes dépendant de
x et y. Les conditions du système 5.28 ne sont approchées qu’avec difficulté et un très grand nombre
de termes est alors nécessaire pour un résultat imprécis. Cette approche ne sera donc pas retenue.
Somme trigonométrique :
L’approche qui donne satisfaction est une décomposition en somme de sinus. On impose donc à la
fonction η T d’être du type :
η T (x, y) =
k∑
l∑
m=1 n=1
A mn sin( 2m + 1 π
2 a x)sin(nπ y) (5.31)
b
Même si cette formulation revient à faire une séparation de variable, celle-ci présente la particularité
de vérifier naturellement de nombreuses équations différentielles du système 5.28. Les 5 conditions
non vérifiées sont :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂η T
∂x
∂η T
∂y
∂η T
∂y
(0, y) = 0
(x, 0) = 0
(x, b) = 0
η T (a, b/2) = 1
∂ 2 η T
∂x 2 (a, y) + ν ∂2 η T
∂y 2 (a, y) = 0
Si on considère que η T (x, y) est la somme de sinus décrite en 5.31, le système 5.32 devient :
(5.32)
100