Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

CHAPITRE 1. RECONSTRUCTION DE L’EFFORT TRANCHANT ET DU MOMENT
FLÉCHISSANT : CAS D’UNE POUTRE EN FLEXION
L’effort tranchant en un point a appartenant à [0, L] est :
soit, en considérant 1.21 :
T(a) = EI ∂3 w
(a) (1.23)
∂x3 T(a) = −EI( π L )3 Acos( π (a)) (1.24)
L
L’objectif de la méthode indirecte est de retrouver cette expression analytique de l’effort tranchant, à
partir d’intégrales ne contenant aucune dérivée spatiale du déplacement. On utilise l’intégrale 1.12,
modifiée par la présence d’un effort F(x) dans le domaine d’intégration [a, b] (voir annexe A).
∫ b
∫
T(a) = − w(x)[ρSω 2 η T (x) − EI ∂4 η b
T
a
∂x (x)]dx − 4 a
où [a, b] ∈ [0, L]. En remplaçant w(x) par son expression 1.21, on obtient :
η T (x)F(x)dx (1.25)
∫ b
T(a) = − sin( π [ (AρSω
a L x) 2 + 1 ) ]
η T (x) − AEI ∂4 η T
∂x (x) dx (1.26)
4
∫ b
T(a) = − sin( π [
a L x) AEI( π ]
L )4 η T (x) − AEI ∂4 η T
∂x (x) dx 4 (1.27)
∫ b
T(a) = −EIA sin( π [
a L x) ( π ]
L )4 η T (x) − ∂4 η T
∂x (x) dx 4 (1.28)
En utilisant les expressions de η T et ∂4 η T
∂x 4
la simplification suivante :
données en 1.13 et 1.14, on obtient après calcul analytique
T(a) = −EI( π L )3 Acos( π (a)) (1.29)
L
On retrouve l’expression analytique de l’effort tranchant de l’équation 1.24.
43