Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

CHAPITRE 5. RECONSTRUCTION DE L’EFFORT TRANCHANT ET DU MOMENT
FLÉCHISSANT : CAS D’UNE PLAQUE EN FLEXION
calculs sont présentés dans l’annexe C.
Dans le cas où il n’y a pas d’excitation extérieure de la structure dans le domaine considéré (F = 0),
la fonctionnelle de Hamilton s’écrit :
⎡
∫ t0
H(W(x 1 , x 2 , t)) = ⎣ρ
t 1
∫S
h ( ) ⎛ 2
∂W
− D (
⎝ ∂ 2 ) 2 (
W ∂ 2 ) 2
W
+
(5.3)
2 ∂t 2 ∂x 2 1 ∂x 2 2
+2ν ∂2 W ∂ 2 (
W ∂ 2 ) ⎞⎤
2
W
+ 2(1 − ν) ⎠⎦dx ∂x 2 1 ∂x 2 1 dx 2 dt
2 ∂x 1 ∂x 2
Les méthodes variationnelles proposent de décomposer le champ de déplacement W(x 1 , x 2 , t) de la
façon suivante :
W(x 1 , x 2 , t) = w(x 1 , x 2 , t) + λW ∗ (x 1 , x 2 , t) (5.4)
où λ est une constante, et W ∗ (x 1 , x 2 , t) est un déplacement virtuel, cinématiquement admissible, et
w est le déplacement cinématiquement admissible qui minimise la fonctionnelle. La minimisation de
H s’écrit alors :
∂
∂λ H [w(x 1, x 2 , t) + λW ∗ (x 1 , x 2 , t)]| λ=0
= 0 (5.5)
Lorsque l’on dérive cette expression pour λ = 0, on obtient :
∂
∂λ H [w(x 1, x 2 , t) + λW ∗ (x 1 , x 2 , t)]| λ=0
= ∫ t 0
t 1
∫S
− D 2
(
(
+2ν
[
ρh ∂w
∂t (x 1, x 2 , t) ∂W∗
∂t
(x 1 , x 2 , t)
2 ∂2 w
∂x 2 1
∂ 2 w
∂x 2 1
(x 1 , x 2 , t) ∂2 W ∗
∂x 2 1
(x 1 , x 2 , t) ∂2 W ∗
∂x 2 2
(x 1 , x 2 , t) + 2 ∂2 w
∂x 2 2
(x 1 , x 2 , t) + ∂2 w
∂x 2 2
+4(1 − ν) ∂2 w
∂x 1∂x 2
(x 1 , x 2 , t) ∂2 W ∗
∂x 1∂x 2
(x 1 , x 2 , t)
(x 1 , x 2 , t) ∂2 W ∗
∂x 2 2
(x 1 , x 2 , t) ∂2 W ∗
)]
∂x 2 1
dx 1 dx 2 dt
(x 1 , x 2 , t)
)
(x 1 , x 2 , t)
On considère le système en régime harmonique et en adoptant la simplification d’écriture suivante :
on obtient :
(5.6)
∂F
∂x i
(x 1 , x 2 ) = F, i (5.7)
∫
S −ρhω2 wW ∗ − D [w, 11 W ∗ , 11 +w, 22 W ∗ , 22 +ν(w, 11 W ∗ , 22 +w, 22 W ∗ , 11 )
+2(1 − ν)w, 12 W ∗ , 12 ] dx 1 dx 2 = 0 ∀ W ∗ (5.8)
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