Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

CHAPITRE 5. RECONSTRUCTION DE L’EFFORT TRANCHANT ET DU MOMENT
FLÉCHISSANT : CAS D’UNE PLAQUE EN FLEXION
5.3.2 Caractérisation des fonctions test
Le but de cette section est de rechercher deux fonctions test distinctes : une pour l’identification de
l’effort tranchant, qu’on notera η T et une pour l’identification du moment fléchissant, qu’on notera
η M . Dans les deux cas, on recherche une expression analytique de ces fonctions qui devront satisfaire
des conditions aux limites particulières.
Afin de compléter cette étude, et dans le but d’identifier les conditions aux limites, il peut être intéressant
de rechercher une autre fonction test η R , permettant le calcul de la dérivée normale du
déplacement par rapport au contour. Cette dérivée normale représente physiquement la rotation de la
plaque autour de la tangente au contour.
5.3.2.1 Cas de l’effort tranchant
C’est l’équation 5.15 qui nous permet de selectionner judicieusement ces conditions limites particulières.
On cherche ici à isoler le terme T(w), qui apparaît dans la première intégrale de contour. On
appelle σ T la partie du contour σ sur laquelle on souhaite identifier l’effort tranchant. Afin d’isoler
cet effort sur σ T , on choisit les conditions aux limites suivantes :
⎧
η T,n (x 1 , x 2 ) = 0 sur σ
⎪⎨ M f (η T (x 1 , x 2 )) = 0 sur σ
(5.17)
η T (x 1 , x 2 ) = 0 sur (σ − σ T )
⎪⎩
η T (x 1 , x 2 ) ≠ 0 sur σ T
Si la fonction η T (x 1 , x 2 ) vérifie ces conditions, alors l’équation 5.15 devient :
∫
∫
∫
η T T(w)d → s= (−ρhω 2 η T + D∆ 2 η T )wdx 1 dx 2 + wT(η T )d → s (5.18)
σ T S
σ
Il est évident que l’équation, solution du système 5.17 définisssant η T , dépend directement de la
forme du contour σ. La recherche exacte de η T doit être faite après le choix de la forme du contour.
Le paragraphe 5.3.3 présente un exemple détaillé de cette recherche de η T dans le cas d’une surface
rectangulaire. L’annexe E donne une expression analytique finale de η T .
5.3.2.2 Cas du moment fléchissant
On cherche ici à isoler l’effort tranchant M(w), il apparaît dans la seconde intégrale de contour.
On appelle σ M la partie du contour σ sur laquelle on souhaite identifier le moment fléchissant. Afin
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