Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

ANNEXE C. CALCUL DÉTAILLÉ DE L’ÉQUATION INTÉGRALE GÉNÉRALE DU CAS DES
PLAQUES EN FLEXION
A 3
A 4
∫
= ν (w, 11 W ∗ , 22 −w, 12 W ∗ , 12 )dx 1 dx 2
S∫
= −ν W ∗ , 2 (−n 2 w, 11 +n 1 w, 12 )d → s
σ
∫
= ν (w, 22 W ∗ , 11 −w, 12 W ∗ , 12 )dx 1 dx 2
∫S
= ν W ∗ , 1 (−n 2 w, 12 +n, 1 w, 22 )d → s
σ
(C.16)
(C.17)
Des intégrales de surfaces et de contours résultent de ces modifications. En sommant les intégrales de
surface comprises dans C.14 et C.15 puis en utilisant à nouveau les formules de Green, on obtient :
A Surface
∫
= − (W ∗ , 1 w, 111 +W ∗ , 2 w, 211 +W ∗ , 1 w, 221 +W ∗ , 2 w, 122 )dx 1 dx 2
∫ S
∫
= W ∗ (w, 1111 +2w, 1122 +w, 2222 )dx 1 dx 2 − W ∗ (w, 11n +w, 22n )d → s
∫S
∫
σ
= W ∗ ∆ 2 wdx 1 dx 2 − W ∗ (w, 11n +w, 22n )d → s
S
σ
(C.18)
où ∆ 2 est le bilaplacien, défini par :
∆ 2 = ∂4
∂x 4 1
∂ 4
+ 2
∂x 2 1∂x 2 2
+ ∂4
∂x 4 2
(C.19)
Pour les intégrales de contours restantes dans les équations C.14, C.15, C.16, et C.17, on utilise la
relation suivante de changement de base :
⎧
⎨
⎩
W ∗ , 1 = n 1 W ∗ , n −n 2 W ∗ , s
W ∗ , 2 = n 2 W ∗ , n +n 1 W ∗ , s
(C.20)
En sommant ces intégrales de contours, on obtient :
A Contour =
∫
σ
[((ν − 1)n 1 n 2 (w, 11 −w, 22 ) + (ν − 1)(n 2 2 − n2 1 )w, 12 )W ∗ , s
+((n 2 1 + νn2 2 )w, 11 +(n 2 2 + νn2 1 )w, 22 +2(1 − ν)n 1 n 2 w, 12 )W ∗ , n ]d → s
(C.21)
Si les dérivées spatiales du déplacement sont changées en dérivées tangentielles et normales à l’aide
des relations :
⎧
⎨
⎩
w, 1 = n 1 w, n −n 2 w, s
w, 2 = n 2 w, n +n 1 w, s
(C.22)
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