Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

CHAPITRE 5. RECONSTRUCTION DE L’EFFORT TRANCHANT ET DU MOMENT
FLÉCHISSANT : CAS D’UNE PLAQUE EN FLEXION
d’isoler M f (w) sur σ M , on choisit les conditions limites suivantes :
⎧
η M (x 1 , x 2 ) = 0 sur σ
⎪⎨ M f (η M (x 1 , x 2 )) = 0 sur σ
(5.19)
η M,n (x 1 , x 2 ) = 0 sur (σ − σ M )
⎪⎩
η M,n (x 1 , x 2 ) ≠ 0 sur σ M
Si la fonction η M (x 1 , x 2 ) vérifie ces conditions, alors l’équation 5.15 devient :
∫
∫
∫
− η M,n M f (w)d → s= (−ρhω 2 η M + D∆ 2 η M )wdx 1 dx 2 + wT(η M )d → s (5.20)
σ M S
σ
On donne dans la section suivante la méthode permettant d’obtenir l’expression analytique de η M .
Afin d’alléger la lecture de ce chapitre, la recherche de η M ne sera pas détaillée ici, mais suivra la
même démarche. Une expression analytique est donnée dans l’annexe E.
5.3.2.3 Cas de la rotation
Pour la rotation, on s’intéresse ici à w, n présent dans le dernier terme de l’équation 5.15. Pour se faire,
la fonction test η R doit vérifier :
⎧
η R (x 1 , x 2 ) = 0 sur σ
⎪⎨ M f (η R (x 1 , x 2 )) = 0 sur (σ − σ R )
(5.21)
η R,n (x 1 , x 2 ) = 0 sur σ
⎪⎩
M f (η R (x 1 , x 2 )) ≠ 0 sur σ R
Si la fonction η R (x 1 , x 2 ) vérifie ces conditions, alors l’équation 5.15 devient :
∫
∫
∫
− w, n M f (η R )d → s= (−ρhω 2 η R + D∆ 2 η R )wdx 1 dx 2 + wT(η R )d → s (5.22)
σ R S
σ
Une expression analytique de η R est donnée en annexe E.
5.3.3 Cas d’un domaine d’intégration rectangulaire
5.3.3.1 Données du problème
Un seul des nombreux cas possibles sera developpé ici. La recherche de la fonction η T permettant
l’identification de l’effort tranchant en considérant une surface d’intégration rectangulaire. On rappelle
que la recherche de η M pour le calcul du moment fléchissant ou de η R pour le calcul de la
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