Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

CHAPITRE 6. APPROXIMATIONS ET INCERTITUDES : CAS D’UNE PLAQUE EN FLEXION
6.5 Troncature SVD
On rappelle que la première étape du calcul est effectuée plusieurs fois, le long d’une limite rectiligne
de la structure, afin d’obtenir une répartition de moyennes pondérées, comme expliqué dans le chapitre
précédent (Chap. 5). Il est ensuite nécessaire d’inverser les systèmes matriciels (5.38 et 5.39)
représentant la déconvolution entre la fonction test et la répartition des valeurs moyennées pondérées.
Ces systèmes sont mal conditionnés, les lignes de la matrice issue de la fonction test ont des
valeurs très voisines, rendant l’inversion difficile. Le principe de troncature des valeurs singulières
(TSVD pour "truncated singular value decomposition", cf [PS 84]) est utilisé. Cette technique permet
de rendre cette inversion et la déconvolution, possibles. La shéma 6.14 illustre l’étape étudiée ici.
FIG. 6.14 – Différentes étapes du calcul et erreurs entachant la reconstruction
6.5.1 Principe de la troncature SVD
Un système matriciel présentant un mauvais conditionnement est délicat à inverser, car la présence
d’incertitudes crée de fortes erreurs sur le résultat d’un calcul. Généralement, la troncature des valeurs
singulières est utilisée pour réduire ces effets néfastes du mauvais conditionnement des matrices. Elle
est ici utilisée comme méthode de régularisation pour contrer l’hypersensibilté des systèmes aux
incertitudes de mesure.
Les incertitudes de mesures sont en partie régularisées par les intégrations à la base de la méthode. La
TSVD est néanmoins nécessaire à cause du mauvais conditionnement de la matrice caractéristique de
la déconvolution (voir équations 5.38 et 5.39), qui présente un nombre de conditionnement tellement
élevé que son inversion est numériquement impossible.
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