Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

Annexe C
Calcul détaillé de l’équation intégrale
générale du cas des plaques en flexion
On rappelle que les quantités recherchées sont l’effort tranchant et le moment fléchissant à la limite
d’une plaque. Ces dernières dépendent directement des dérivées spatiales du déplacement. L’équation
de départ est la fonctionnelle d’Hamilton [GUY 02]. Celle-ci présente l’avantage de ne dépendre
que des dérivées temporelles ou spatiales du déplacement, contrairement à d’autres fonctionnelles
dites mixtes, qui utilisent également les contraintes et les déformations (cf. fonctionnelle de Reissner
[GUY 02]) :
⎡
∫ t0
H(W(x 1 , x 2 , t) = ⎣ρ
t 1
∫S
h ( ) ⎛ 2
∂W
− D (
⎝ ∂ 2 ) 2 (
W ∂ 2 ) 2
W
+
(C.1)
2 ∂t 2 ∂x 2 1 ∂x 2 2
+2ν ∂2 W ∂ 2 (
W ∂ 2 ) ⎞⎤
2
W
+ 2(1 − ν) ⎠⎦ dx
∂x 2 1 ∂x 2 1 dx 2 dt
2 ∂x 1 ∂x 2
Les méthodes variationnelles proposent de décomposer le champ de déplacement W(x 1 , x 2 , t) de la
façon suivante :
W(x 1 , x 2 , t) = w(x 1 , x 2 , t) + λW ∗ (x 1 , x 2 , t)
(C.2)
où λ est une constante, et W ∗ (x 1 , x 2 , t) est un déplacement virtuel, cinématiquement admissible.
La minimisation de H s’écrit alors :
∂
∂λ H [w(x 1, x 2 , t) + λW ∗ (x 1 , x 2 , t)]| λ=0
= 0
(C.3)
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