Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

INTRODUCTION ET CONTEXTE SCIENTIFIQUE
l’inversion de la matrice de transfert. Pour cela, les entrées et sorties du système sont projetées dans
la base des modes propres de la structure. Cette technique a été largement developpée (cf. [SZA 89],
[ZAB 90], [WG 93], et [HCDV 97]). Elle nécessite malgré tout la connaissance du comportement modal
de la structure, et la gamme de fréquence étudiée sera limitée par les modes pris en compte dans
le calcul. De plus, l’omission d’un mode propre dans cette bande de fréquence affectera grandement
la justesse du résultat.
Méthode de régularisation
La résolution d’un problème mal posé doit donc passer par les notions de solution approchée et de
solution stable : c’est le but des méthodes de régularisation. Il s’agit de réduire l’hypersensibilité de
la solution aux variations des données d’entrées. Deux grandes approches de régularisation peuvent
être citées : la régularisation de Tikhonov et la TSVD (truncated Singular Value Decomposition).
La plus ancienne de ces méthode, celle de Tikhonov [TA 76], consiste à stabiliser le problème en minimisant
la norme ‖{X(ω)} − [H(ω)]{F(ω)}‖ par l’introduction d’un opérateur régularisant β(ω). Le
problème revient à minimiser la quantité ‖{X(ω)} − [H(ω)]{F(ω)}‖+β(ω) ‖{F(ω)}‖. On cherche
via cette démarche une procédure de calcul d’une approximation qui adoucisse les effets du bruit et
qui fournisse une solution physiquement stable. Si on donne un poids trop important à l’opérateur régularisant,
on conçoit aisément que la solution (par rapport à une hypothétique solution exacte) peut
être altérée de façon non négligeable : ceci est un avantage dans le cas où l’on est sûr de l’information
a priori. Si, en revanche, cette information est peu sûre, on doit trouver, via le paramètre de régularisation,
le juste compromis entre la stabilité et la vraisemblance de la solution obtenue.
La méthode de troncature de valeurs singulières est beaucoup plus répandue. Elle a été décrite dans
le cadre de la mesure indirecte d’efforts par Powell [PS 84]. Le principe est d’exprimer la matrice de
transfert sous cette forme :
[H] mn = [U] mn [S] nn [V ] ∗ nn (6)
où [U] mn et [V ] ∗ nn sont des matrices unitaires, et [S] nn est la matrice diagonale des valeurs singulières
classées par ordre décroissant. Le nombre de valeurs singulières non nulles de [H] mn définit son
rang, c’est à dire le niveau de dépendance linéaire de ses colonnes. En pratique, aucune des valeurs
singulières n’est nulle, mais certaines sont très faibles. Ce sont ces faibles valeurs singulières, qui
sont la cause de l’hypersensibilité du problème en amplifiant considérablement le bruit de mesure.
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