Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

ANNEXE C. CALCUL DÉTAILLÉ DE L’ÉQUATION INTÉGRALE GÉNÉRALE DU CAS DES
PLAQUES EN FLEXION
FIG. C.1 – Représentation des vecteurs unitaires en un point du contour σ. → n normale, → s tangente.
On rappelle les égalités suivantes, appelées communément première identité de Green [CM 88] :
∫
S
(u, 1 v, 1 +u, 2 v, 2 )dx 1 dx 2
∫
∫
= − (u∆v)dx 1 dx 2 + uv, n d → s
(C.12)
∫S
σ ∫
= − u(v, 11 +v, 22 )dx 1 dx 2 + u(n 1 v, 1 +n 2 v, 2 )d → s
S
σ
Ainsi qu’une autre forme qui dérive de la première [CM 88] :
∫
S
∫
(u, 1 v, 2 −u, 2 v, 1 )dx 1 dx 2 =
∫
=
σ
σ
uv, s d → s
u(−n 2 v, 1 +n 1 v, 2 )d → s
(C.13)
où u et v sont deux fonctions quelconques, σ le contour de la surface S, → s et → n sont le vecteur tangent
et le vecteur normal du contour, n 1 et n 2 sont les cosinus directeurs du vecteur normal → n.
En utilisant les expressions C.12 ou C.13 on obtient :
∫
A 1 = (w, 11 W ∗ , 11 +w, 12 W ∗ , 12 )dx 1 dx 2
S∫
∫
= − W ∗ , 1 (w, 111 +w, 122 )dx 1 dx 2 +
S
∫
A 2 = (w, 22 W ∗ , 22 +w, 12 W ∗ , 12 )dx 1 dx 2
S∫
∫
= − W ∗ , 2 (w, 222 +w, 211 )dx 1 dx 2 +
S
σ
σ
W ∗ , 1 (n 1 w, 11 +n 2 w, 12 )d → s
W ∗ , 2 (n 1 w, 12 +n 2 w, 22 )d → s
(C.14)
(C.15)
159