Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

ANNEXE C. CALCUL DÉTAILLÉ DE L’ÉQUATION INTÉGRALE GÉNÉRALE DU CAS DES
PLAQUES EN FLEXION
on obtient :
A Contour =
La combinaison des équations C.10, C.18 et C.23, donne :
Soit :
∫
σ
[W ∗ , s (1 − ν)w, n s + W ∗ , n (w, nn +νw, ss )]d → s (C.23)
∫
− ρhω 2 wW ∗ dx 1 dx 2 = D × (A Surface + A Contour )
S
(C.24)
∫
− ρhω 2 wW ∗ dx 1 dx 2
S
∫
= D
−D
S∫
W ∗ ∆ 2 wdx 1 dx 2
σ
[W ∗ (w, 11n +w, 22n )
−W ∗ , s (1 − ν)w, ns −W ∗ , n (w, nn +νw, ss )]d → s
(C.25)
On sait que le moment fléchissant, exprimé selon les directions normales et tangentielles, a pour
expression :
M f (w) = −D(w, nn +νw, ss )
De plus, les formules d’intégration par parties sur contours fermés lisses nous donnent :
L’équation C.25 devient :
∫
σ
∫
W ∗ , s (1 − ν)w, ns d → s= − W ∗ (1 − ν)w, nss d → s
σ
(C.26)
(C.27)
∫
− ρhω 2 wW ∗ dx 1 dx 2 =
S
−
−
∫
D W ∗ ∆ 2 wdx 1 dx 2
∫ S
W ∗ , n M f (w)d → s
σ∫
D W ∗ (w, 11n +w, 22n +(1 − ν)w, nss )d → s
σ
On s’intéresse maintenant à la dernière intégrale de cette équation. On sait que :
(C.28)
w, 11 +w, 22 = ∆w = w, nn +w, ss (C.29)
donc
161