Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

CHAPITRE 1. RECONSTRUCTION DE L’EFFORT TRANCHANT ET DU MOMENT
FLÉCHISSANT : CAS D’UNE POUTRE EN FLEXION
Les figures 1.4 et 1.5 montrent la forme de la fonction polynomiale et de sa dérivée quatrième utilisées
dans l’équation (1.16). Contrairement aux remarques du paragraphe 1.4.1, les valeurs η M (x) ne restent
pas constantes et dépendent de l’intervalle d’intégration. Les valeurs de la dérivée quatrième varient
également lorsque le domaine d’intégration [a,b] change.
1.6 Application analytique sur un cas simple
Une application de la méthode est présentée. On considère une poutre de longueur L, de section S,
en appui, excitée par un force harmonique transversale présentant une répartition sinusoïdale, de la
forme :
F(x, t) = sin( π L x)ejωt (1.19)
Par la suite, pour des raisons de simplicité, la dépence temporelle e jωt est supprimée. La figure 1.6
illustre cette répartition.
FIG. 1.6 – Poutre en appui excitée par une force hamonique à répartition sinusoïdale
L’équation de mouvement des poutres en flexion est :
La solution correspondant au cas décrit est (cf. [GUY 02]) :
EI ∂4 w(x)
∂x 4 − ρSω 2 w(x) = F(x) (1.20)
w(x) = Asin( π x) (1.21)
L
avec A, l’amplitude modale du déplacement, égale dans ce cas simple à (cf. [GUY 02]) :
A =
1
EI( π L )4 − ρSω 2 (1.22)
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