Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

CHAPITRE 6. APPROXIMATIONS ET INCERTITUDES : CAS D’UNE PLAQUE EN FLEXION
Le principe est d’exprimer une matrice [η] sous la forme :
[η] mn = [U] mn [S] nn [V ] ∗ nn (6.20)
où [U] mn et [V ] ∗ nn sont des matrices unitaires, et [S] nn est la matrice diagonale des valeurs singulières
classées par ordre décroissant. Les petites valeurs singulières, présentes dans la matrice [S] nn sont
responsables du mauvais conditionnement. Il est alors nécessaire de fixer un seuil en dessous duquel
les valeurs singulières sont rejetées.
Si l’on considère que seules r valeurs singulières sont retenues, alors l’inversion de la matrice donne :
[η] −1
mn = [V ] nr [S] −1
rr [U] ∗ mr (6.21)
En baissant ainsi le nombre de conditionnement de la matrice [η], on rend son inversion possible.
C’est dans cette logique que la TSVD est initialement utilisée.
6.5.2 Choix du nombre de troncature
Il reste maintenant à définir une méthode permettant le choix du nombre de valeurs singulières conservées
r.
On distinguera 2 cas : le cas des simulations dites "exactes" et le cas des simulations dites "bruitées".
Dans le cas des simulations exactes, la TSVD est indispensable car le nombre de conditionnement
de la matrice de la fonction test [η] ou [ ∂η ] devient trop grand. Le choix de r, le nombre de valeurs
∂x
singulières conservées, dépend directement de la capacité des ordinateurs à inverser une matrice dont
le nombre de conditionnement est très grand, il sera déterminé à la suite d’essais numériques.
Dans le cas des simulations bruitées, le choix de r se fait de manière différente et nous est imposé par
le comportement de la reconstruction face aux incertitudes.
L’idée clé consiste à accepter une norme résiduelle ||Ax−b|| non nulle et en contrepartie, «pénaliser»
la solution. Où, dans notre problème, A serait la matrice [η], x le vecteur recherché, c’est à dire, les
valeurs exacte de la répartition d’effort, et b le vecteur connu, c’est à dire la répartition des moyennes
pondérées.
Ce choix est assez délicat : Le principe consiste à minimiser la norme résiduelle ||Ax − b|| ainsi que
la norme de la solution issue du système tronqué ||x r ||. Le choix de r va donc correspondre à un
compromis entre la stabilité et la vraisemblance de la solution obtenue.
En pratique, on peut utiliser le critère de la courbe en L (cf [HAN 92]). Cette courbe qui a généralement
l’apparence d’un L, représente l’évolution de la solution régularisée ||x r || en fonction du résidu
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