Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

ANNEXE D. SINGULARITÉS DES CONTOURS, FORMULES DE GREEN
or
et
donc
∫ ymax
∫ ymax
∫ x1
y min
y min
f(x 1 (y), y)dy +
∫ ∫
f ,x (x, y)dxdy =
x 0
∫ ∫
S
∫ ymin
S
f ,x (x, y)dxdy
∫
f(x 0 (y), y)dy =
y max
∫
f ,x (x, y)dxdy =
σ
f(x, y)dy
σ
f(x, y)dy
De la même manière mais en raisonnant dans le système d’axe ( → y, − → x), on obtient :
∫ ∫
S
∫
g ,y (x, y)dxdy = − g(x, y)dx
σ
En sommant ces égalités, on retrouve une relation appelée formule de Gauss :
On pose maintenant :
∫ ∫
∫
[f ,x (x, y) + g ,y (x, y)]dxdy = [f(x, y)dy − g(x, y)dx]
S
σ
(D.5)
(D.6)
(D.7)
(D.8)
(D.9)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
f(x, y) = u(x, y)v ,x (x, y) ⇒ f ,x (x, y) = u ,x (x, y)v ,x (x, y) + u(x, y)v ,xx (x, y)
g(x, y) = u(x, y)v ,y (x, y) ⇒ g ,,y (x, y) = u ,y (x, y)v ,y (x, y) + u(x, y)v ,yy (x, y)
(D.10)
En combinant ces égalités avec la formule de Gauss, il arrive (en simplifiant la notation des variables) :
avec :
∫ ∫
∫
(u ,x v x + uv ,xx + u ,y v y + uv ,yy )dxdy = (uv ,x dy − uv ,y dx)
S
v ,xx + v ,yy = ∆v
σ
(D.11)
(D.12)
il en résulte :
∫ ∫
∫ ∫
∫
(u ,x v ,x + u ,y v ,y )dxdy = − u∆vdxdy + (uv ,x dy − uv ,y dx) (D.13)
S
S
σ
soit, en utilisant le théorème de Gauss [CM 88] :
∫ ∫
∫ ∫
∫
(u x , v x + u y v y )dxdy = − u∆vdxdy + uv n ds
(D.14)
S
S
σ
On retrouve bien la première identité de Green utilisée dans l’annexe C. Cette démonstration se base
sur une technique de balayage de la surface S à intégrer. A aucun moment du calcul, la forme, ou les
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