Identification d'efforts aux limites des poutres et plaques en flexion ...

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ANNEXE D. SINGULARITÉS DES CONTOURS, FORMULES DE GREEN or et donc ∫ ymax ∫ ymax ∫ x1 y min y min f(x 1 (y), y)dy + ∫ ∫ f ,x (x, y)dxdy = x 0 ∫ ∫ S ∫ ymin S f ,x (x, y)dxdy ∫ f(x 0 (y), y)dy = y max ∫ f ,x (x, y)dxdy = σ f(x, y)dy σ f(x, y)dy De la même manière mais en raisonnant dans le système d’axe ( → y, − → x), on obtient : ∫ ∫ S ∫ g ,y (x, y)dxdy = − g(x, y)dx σ En sommant ces égalités, on retrouve une relation appelée formule de Gauss : On pose maintenant : ∫ ∫ ∫ [f ,x (x, y) + g ,y (x, y)]dxdy = [f(x, y)dy − g(x, y)dx] S σ (D.5) (D.6) (D.7) (D.8) (D.9) ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ f(x, y) = u(x, y)v ,x (x, y) ⇒ f ,x (x, y) = u ,x (x, y)v ,x (x, y) + u(x, y)v ,xx (x, y) g(x, y) = u(x, y)v ,y (x, y) ⇒ g ,,y (x, y) = u ,y (x, y)v ,y (x, y) + u(x, y)v ,yy (x, y) (D.10) En combinant ces égalités avec la formule de Gauss, il arrive (en simplifiant la notation des variables) : avec : ∫ ∫ ∫ (u ,x v x + uv ,xx + u ,y v y + uv ,yy )dxdy = (uv ,x dy − uv ,y dx) S v ,xx + v ,yy = ∆v σ (D.11) (D.12) il en résulte : ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (u ,x v ,x + u ,y v ,y )dxdy = − u∆vdxdy + (uv ,x dy − uv ,y dx) (D.13) S S σ soit, en utilisant le théorème de Gauss [CM 88] : ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (u x , v x + u y v y )dxdy = − u∆vdxdy + uv n ds (D.14) S S σ On retrouve bien la première identité de Green utilisée dans l’annexe C. Cette démonstration se base sur une technique de balayage de la surface S à intégrer. A aucun moment du calcul, la forme, ou les 166
ANNEXE D. SINGULARITÉS DES CONTOURS, FORMULES DE GREEN éventuelles singularités de σ, contour de S, n’interviennent. Les formules de transformation d’intégrales peuvent donc être utilisées quelque soit la forme du contour. Cependant, même si cette annexe montre que les formules utilisées sont valides, des termes correctifs doivent être ajoutés à l’équation générale 5.15 si le contour présente des singularités (cf.annexe C). 167
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REMERCIEMENTS 4
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TABLE DES MATIÈRES Conclusion Gén
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TABLE DES FIGURES 4.3 Poutre avec d
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TABLE DES FIGURES 6.9 Erreur d’in
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Introduction et contexte scientifiq
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